《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

2. 如图,直线 $ AO \perp OB $,垂足为 $ O $,线段 $ AO = 3 $,$ BO = 4 $,以点 $ A $ 为圆心,$ AB $ 的长为半径画弧,交直线 $ AO $ 于点 $ C $,则 $ OC $ 的长为(D)。

A.$ 5 $
B.$ 4 $
C.$ 3 $
D.$ 2 $
]

答案： D

3. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = 4 cm $,$ BC = 3 cm $,则高 $ CD $ 为(B)。

A.$ 5 cm $
B.$ \dfrac{12}{5} cm $
C.$ \dfrac{5}{12} cm $
D.$ \dfrac{4}{3} cm $

答案： B

4. 如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形。若正方形 $ B $,$ C $,$ D $ 的面积依次为 $ 4 $,$ 3 $,$ 9 $,则正方形 $ A $ 的面积为(A)。

A.$ 2 $
B.$ 5 $
C.$ 1 $
D.$ 6 $

答案： A

5. 【数学应用】某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与屏幕顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动。如图,当张角为 $ \angle BAF $ 时,屏幕顶部边缘点 $ B $ 离桌面的高度 $ BC $ 为 $ 7 cm $,此时屏幕底部边缘点 $ A $ 与点 $ C $ 之间的距离 $ AC $ 为 $ 24 cm $。
(1)求笔记本电脑屏幕的宽 $ AB $；
(2)小组成员调整张角的大小,发现当张角为 $ \angle DAF $ 时,屏幕顶部边缘点 $ D $ 离桌面的高度为 $ DE $,此时屏幕底部边缘点 $ A $ 与点 $ E $ 之间的距离 $ AE $ 为 $ 15 cm $,求笔记本电脑屏幕顶部边缘上升的高度。
]

答案： 5.解:
(1)根据题意,得 BC=7 cm,AC=24 cm,∠ACB=90°。在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB²=BC²+AC²=7²+24²=625,解得 AB=25 cm。即笔记本电脑屏幕的宽 AB 为 25 cm。
(2)根据题意,得 AD=AB=25 cm,AE=15 cm,∠AED=90°。在 Rt△AED 中,由勾股定理,得 AD²=AE²+DE²=15²+DE²=25²,解得 DE=20 cm。此时笔记本电脑屏幕顶部边缘上升的高度为20-7=13(cm)。

6. 如图,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作等腰直角三角形、正方形、半圆、等边三角形,三边对应图形的面积分别为 $ S_{1} $,$ S_{2} $,$ S_{3} $,则这 $ 4 $ 个图形中满足 $ S_{1} + S_{2} = S_{3} $ 的共有(D)。

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 6.D 解析:假设 S₁对应的中间直角三角形的直角边长为 a,S₂对应的中间直角三角形的直角边长为 b,S₃对应的中间直角三角形的斜边长为 c。在题图①中,$S_{1}=\frac {1}{2}×a×\frac {a}{2}=\frac {1}{4}a^{2}$,$S_{2}=\frac {1}{2}×b×\frac {b}{2}=\frac {1}{4}b^{2}$,所以$S_{1}+S_{2}=\frac {1}{4}(a^{2}+b^{2})$,$S_{3}=\frac {1}{2}×c×\frac {c}{2}=\frac {1}{4}c^{2}$。又 a²+b²=c²,所以 S₁+S₂=S₃。同理,在题图②③④中,都有 S₁+S₂=S₃。故选 D。