《2025年智慧学习明天出版社七年级数学上册人教版》

5. 解下列方程：
(1) $\frac{1}{4}x = - \frac{1}{2}x + 3$；
(2) $\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$；
(3) $\frac{0.5x - 1}{0.2} - \frac{0.1x + 2}{0.3} = 1$；
(4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}x - 4) = 2$.

答案： $(1)$ 解方程$\frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}x + 3$
解：
移项，得$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}x = 3$。
通分，$\frac{1}{4}x+\frac{2}{4}x = 3$，即$\frac{3}{4}x = 3$。
系数化为$1$，$x = 3×\frac{4}{3}=4$。
$(2)$ 解方程$\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$
解：
去分母，两边同时乘以$12$，得$4(2x - 1)=12 - 3(x + 2)$。
去括号，$8x-4 = 12-3x - 6$。
移项，$8x + 3x=12 - 6 + 4$。
合并同类项，$11x = 10$。
系数化为$1$，$x=\frac{10}{11}$。
$(3)$ 解方程$\frac{0.5x - 1}{0.2} - \frac{0.1x + 2}{0.3} = 1$
解：
先将方程中的小数化为整数，分子分母同时乘以$10$，得$\frac{5x - 10}{2}-\frac{x + 20}{3}=1$。
去分母，两边同时乘以$6$，$3(5x - 10)-2(x + 20)=6$。
去括号，$15x-30 - 2x - 40 = 6$。
移项，$15x-2x=6 + 30 + 40$。
合并同类项，$13x = 76$。
系数化为$1$，$x=\frac{76}{13}$。
$(4)$ 解方程$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}x - 4) = 2$
解：
去括号，$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}x - 2 = 2$。
合并同类项，$\frac{2}{3}x=2 + 2$。
$\frac{2}{3}x = 4$。
系数化为$1$，$x = 4×\frac{3}{2}=6$。
综上，答案依次为：$(1)x = 4$；$(2)x=\frac{10}{11}$；$(3)x=\frac{76}{13}$；$(4)x = 6$。

6. 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书 $3000$ 册. 由于学生的积极响应,实际赠书 $3780$ 册,其中初中部比原计划多赠了 $20\%$,高中部比原计划多赠了 $30\%$. 问：该校初、高中部原计划各赠书多少册？

答案： 6.该校初、高中部原计划各赠书1200册、1800册.

若整数 $k$ 的值使关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$ 的解为整数,则称 $k$ 为此方程的“关联系数”.
(1) 判断 $k = 3$ 是否为方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$ 的“关联系数”,请说明理由.
(2) 小明认为：方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$ 的“关联系数” 的个数有限,你认为他的说法正确吗？请说明理由.

答案： $(1)$ 判断$k = 3$是否为“关联系数”
解：
首先求解方程$\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$。
去分母：方程两边同时乘以$6$，得到$6×\frac{x - 1}{2}=6×\frac{k}{3}+6x$，即$3(x - 1)=2k + 6x$。
去括号：根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，$3(x - 1)=3x-3$，则方程变为$3x-3 = 2k + 6x$。
移项：把含有$x$的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，得到$3x-6x=2k + 3$。
合并同类项：$-3x=2k + 3$。
系数化为$1$：$x=\frac{2k + 3}{-3}=-\frac{2k}{3}-1$。
当$k = 3$时，$x=-\frac{2×3}{3}-1=-2 - 1=-3$，$-3$是整数。
所以$k = 3$是方程$\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$的“关联系数”。
$(2)$ 判断小明说法是否正确
解：
由$(1)$知$x=-\frac{2k}{3}-1$，因为$k$为整数，$x$为整数。
当$k = 3n$（$n$为整数）时，$x=-\frac{2×3n}{3}-1=-2n - 1$，$-2n - 1$是整数。
由于整数$n$有无数个，所以$k$也有无数个值能使$x$为整数。
所以小明的说法不正确，方程$\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$的“关联系数”的个数是无限的。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{k = 3}$是“关联系数”，理由见上述过程；$(2)$小明说法不正确，理由见上述过程。