《2025年智慧学习明天出版社七年级数学上册人教版》

2. 自然数被 3 整除的规律
一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被 3 整除,那么这个自然数就能被 3 整除。
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 $a$,$b$,则这个两位数为 $10a + b = 9a + (a + b)$。
显然 $9a$ 能被 3 整除,因此,如果 $a + b$ 能被 3 整除,那么 $9a + (a + b)$ 就能被 3 整除。
如果一个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 $a$,$b$,$c$,且 $a + b + c$ 能被 3 整除,请你仿照上面写出一个式子说明这个三位数能被 3 整除。

答案： 这个三位数为$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$。
显然$99a$和$9b$都能被3整除，因此，如果$a + b + c$能被3整除，那么$99a + 9b + (a + b + c)$就能被3整除。

已知式子 $3x^2 - 4x + 6$ 的值为 9,则 $x^2 - \frac{4}{3}x + 6$ 的值为(D)
A.18
B.12
C.9
D.7

答案： D
 

拓展：现规定一种运算：$a * b = ab + a - b$,其中 $a$,$b$ 为有理数,则 $a * b + b * a$ 等于______。

答案： $2ab$

二、整式加减的实际应用——戳穿房地产商涨价的谎言
某房地产公司对外宣称：今年上半年地价上涨 10%,建筑材料上涨 10%,广告费用上涨 10%,则房价(房价主要由以下三块组成：地价、建筑材料、广告费用)应上涨 30%才能保本。你认为此房地产公司的说法合理吗？如果不合理,那么房价应上涨多少才能保本？
(提示：设房子总价为 $w$ 元,地价、建筑材料、广告费用分别为 $a$ 元,$b$ 元,$c$ 元,则有 $w = a + b + c$)

答案： 设房子总价为$ w $元，地价、建筑材料、广告费用分别为$ a $元、$ b $元、$ c $元，由题意得$ w = a + b + c $。
各项上涨10%后，地价为$ a(1 + 10\%) = 1.1a $元，建筑材料为$ b(1 + 10\%) = 1.1b $元，广告费用为$ c(1 + 10\%) = 1.1c $元。
上涨后的总房价为：$ 1.1a + 1.1b + 1.1c = 1.1(a + b + c) = 1.1w $。
上涨金额为：$ 1.1w - w = 0.1w $，上涨比例为：$ \frac{0.1w}{w} × 100\% = 10\% $。
结论：房地产公司说法不合理，房价应上涨10%才能保本。

三、规律探索问题
已知 $a_n = (-1)^n + 1$,当 $n = 1$ 时,$a_1 = 0$；当 $n = 2$ 时,$a_2 = 2$；当 $n = 3$ 时,$a_3 = 0$。则 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$ 的值是6。

答案： 解题过程如下：
已知$a_n = (-1)^n + 1$，
当$n = 1$时，
$a_1 = (-1)^1 + 1 = 0$，
当$n = 2$时，
$a_2 = (-1)^2 + 1 = 2$，
当$n = 3$时，
$a_3 = (-1)^3 + 1 = 0$，
当$n = 4$时，
$a_4 = (-1)^4 + 1 = 2$，
当$n = 5$时，
$a_5 = (-1)^5 + 1 = 0$，
当$n = 6$时，
$a_6 = (-1)^6 + 1 = 2$，
所以，$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$
$= 0 + 2 + 0 + 2 + 0 + 2$
$= 6$
故答案为$6$。

1. 用式子表示“$a$ 的 3 倍与 $b$ 的差的平方”,正确的是(A)
A.$(3a - b)^2$
B.$3(a - b)^2$
C.$3a - b^2$
D.$(a - 3b)^2$

答案： A

2. 多项式 $-2 + 4x^2y + 6x - x^3y^2$ 是五次______四项式,其中最高次项的系数是______-1,常数项是______-2。

答案： 五；四；-1；-2

3. 计算 $2(a + b) - (a - b)$ 的结果是(B)
A.$a + b$
B.$a + 3b$
C.$a$
D.$a + 2b$

答案： B

4. 下列计算正确的是(D)

A.$2a + 3b = 5ab$
B.$x^4 + x^3 = x^7$
C.$a^2 - (b - c) = a^2 - b - c$
D.$x^4 + 2(x^4 - x^2) = 3x^4 - 2x^2$

答案： D