《2025年智慧学习明天出版社七年级数学上册人教版》

4. 某校艺术班同学都会弹钢琴或古筝,其中会弹钢琴的比会弹古筝的多10人,两种都会的有7人。设会弹古筝的有 $ m $ 人,则该班同学共有2m + 3人。(用含有 $ m $ 的代数式表示)

答案： (2m + 3)

5. 计算：
(1) $ -3(ab - 2) + 2(1 - 2ab) $；
(2) $ 2(a^{2}b + ab^{2}) - 2(a^{2}b - 1) + 2ab^{2} - 2 $；
(3) $ 6x^{2} - [3xy^{2} - 2(2xy^{2} - 3) + 7x^{2}] $；
(4) $ \frac{1}{2}x - 2(x - \frac{1}{3}y^{2}) + (-\frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^{2}) $。

答案： 1. （1）
解：
首先，根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$展开式子：
$-3(ab - 2)+2(1 - 2ab)=-3ab+6 + 2-4ab$。
然后，合并同类项：
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，$-3ab-4ab+6 + 2=(-3 - 4)ab+(6 + 2)$。
所以$-3(ab - 2)+2(1 - 2ab)=-7ab + 8$。
2. （2）
解：
先根据乘法分配律展开式子：
$2(a^{2}b+ab^{2})-2(a^{2}b - 1)+2ab^{2}-2=(2a^{2}b+2ab^{2})-(2a^{2}b-2)+2ab^{2}-2$。
去括号得$2a^{2}b+2ab^{2}-2a^{2}b + 2+2ab^{2}-2$。
再合并同类项：
$2a^{2}b-2a^{2}b+2ab^{2}+2ab^{2}+2 - 2=(2 - 2)a^{2}b+(2 + 2)ab^{2}+(2 - 2)$。
所以$2(a^{2}b+ab^{2})-2(a^{2}b - 1)+2ab^{2}-2 = 4ab^{2}$。
3. （3）
解：
先去小括号：
$6x^{2}-[3xy^{2}-2(2xy^{2}-3)+7x^{2}]=6x^{2}-[3xy^{2}-4xy^{2}+6+7x^{2}]$。
再去中括号：
$6x^{2}-3xy^{2}+4xy^{2}-6 - 7x^{2}$。
最后合并同类项：
$6x^{2}-7x^{2}-3xy^{2}+4xy^{2}-6=(6 - 7)x^{2}+(-3 + 4)xy^{2}-6$。
所以$6x^{2}-[3xy^{2}-2(2xy^{2}-3)+7x^{2}]=-x^{2}+xy^{2}-6$。
4. （4）
解：
先根据乘法分配律展开式子：
$\frac{1}{2}x-2(x-\frac{1}{3}y^{2})+(-\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y^{2})=\frac{1}{2}x-2x+\frac{2}{3}y^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y^{2}$。
再合并同类项：
$\frac{1}{2}x-2x-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y^{2}+\frac{1}{3}y^{2}=(\frac{1}{2}-2-\frac{3}{2})x+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})y^{2}$。
因为$\frac{1}{2}-2-\frac{3}{2}=\frac{1 - 4 - 3}{2}=\frac{-6}{2}=-3$，$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$。
所以$\frac{1}{2}x-2(x-\frac{1}{3}y^{2})+(-\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y^{2})=-3x + y^{2}$。
综上，答案依次为：（1）$-7ab + 8$；（2）$4ab^{2}$；（3）$-x^{2}+xy^{2}-6$；（4）$-3x + y^{2}$。

1. 【问题背景】已知 $ M = (m - 3)x + 1 $,若 $ M $ 的值与 $ x $ 的取值无关,则 $ m - 3 = 0 $,$ m = 3 $。所以当 $ m = 3 $ 时,$ M $ 的值与 $ x $ 的取值无关。
【类比探究】已知 $ M = x - ax $,$ N = 4x - ax + 6a $。
(1) $ 5M - 3N $ 可以用含 $ a $,$ x $ 的式子表示为$-2ax-7x - 18a$；
(2) 若 $ 5M - 3N $ 的值与 $ a $ 的取值无关,求 $ x $ 的值。
解：由（1）知$5M - 3N=-2ax-7x - 18a=(-2x - 18)a-7x$。因为$5M - 3N$的值与$a$的取值无关，所以$-2x - 18 = 0$，移项得$-2x=18$，两边同时除以$-2$，解得$x=-9$。

答案： 1. （1）
首先，将$M = x - ax$，$N = 4x - ax+6a$代入$5M - 3N$：
$5M-3N = 5(x - ax)-3(4x - ax + 6a)$。
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$展开式子：
$5(x - ax)=5x-5ax$，$3(4x - ax + 6a)=12x-3ax + 18a$。
则$5M - 3N=(5x-5ax)-(12x - 3ax + 18a)$。
去括号得$5M - 3N=5x-5ax - 12x + 3ax-18a$。
合并同类项：
对于$x$的同类项：$5x-12x=-7x$；对于$ax$的同类项：$-5ax + 3ax=-2ax$。
所以$5M - 3N=-2ax-7x - 18a$。
2. （2）
解：
由（1）知$5M - 3N=-2ax-7x - 18a=(-2x - 18)a-7x$。
因为$5M - 3N$的值与$a$的取值无关，根据“若$y = ma + n$（$m$，$n$为常数）与$a$无关，则$m = 0$”。
这里$m=-2x - 18$，$n=-7x$，所以令$-2x - 18 = 0$。
移项得$-2x=18$。
两边同时除以$-2$：$x=\frac{18}{-2}=-9$。
故答案为：（1）$-2ax-7x - 18a$；（2）$x = - 9$。

2. 有这样一道题：“计算 $ (2x^{3} - 3x^{2}y - 2xy^{2}) - (x^{3} - 2xy^{2} + y^{3}) + (-x^{3} + 3x^{2}y - y^{3}) $ 的值,其中 $ x = \frac{1}{2} $,$ y = -1 $。”甲同学把“$ x = \frac{1}{2} $”错抄成“$ x = -\frac{1}{2} $”,但他计算的结果也是正确的,试说明理由,并求出这个结果。

答案： 原式化简得 -2y³,结果与 x 的取值无关. 故甲同学计算的结果也是正确的.