《2025年智慧学习明天出版社七年级数学上册人教版》

8. 观察下面日历中“阶梯框”中的数字规律,回答问题。
 

(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出 6 个数,请根据规律补全下图“阶梯框”；


(2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是 3 的倍数。

答案：

(1)；
(2)由
(1)可得“阶梯框”中的数字之和为a - 7 + a - 6 + a - 1 + a + a + 5 + a + 6 = 6a - 3 = 3(2a - 1),所以“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数

1. 让我们轻松一下,做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数 $n_1 = 5$,计算 $n_1^2 + 1$ 得 $a_1$。
第二步：算出 $a_1$ 的各位数字之和得 $n_2$,计算 $n_2^2 + 1$ 得 $a_2$。
第三步：算出 $a_2$ 的各位数字之和得 $n_3$,计算 $n_3^2 + 1$ 得 $a_3$。
……
依此类推,则 $a_{2024} = $65。

答案： 65

2. 已知两个关于 $m$,$n$ 的多项式 $A = m^2 - 3mn$,$B = 9 - 2m^2 - amn$($a$ 为常数)。
(1)已知 $A - B = 3m^2 + 2mn - 9$,求 $a$ 的值。
(2)若 $k$ 是一有理数,且 $kA + 2B$ 的结果中不含关于 $m^2$ 的项,求 $k$ 的值。
(3)是否存在一个有理数 $a$,使得 $2A + B$ 的值恒定？若存在,求出这个数；若不存在,请说明理由。

答案： $(1)$求$a$的值
解：已知$A = m^2 - 3mn$，$B = 9 - 2m^2 - amn$，则$A - B=(m^2 - 3mn)-(9 - 2m^2 - amn)$
$=m^2 - 3mn - 9 + 2m^2 + amn$
$=(m^2 + 2m^2)+(amn - 3mn)-9$
$=3m^2+(a - 3)mn - 9$。
又因为$A - B = 3m^2 + 2mn - 9$，所以$a - 3 = 2$，解得$a = 5$。
$(2)$求$k$的值
解：已知$A = m^2 - 3mn$，$B = 9 - 2m^2 - amn$，则$kA+2B=k(m^2 - 3mn)+2(9 - 2m^2 - amn)$
$=km^2-3kmn + 18 - 4m^2 - 2amn$
$=(km^2 - 4m^2)+(-3kmn - 2amn)+18$
$=(k - 4)m^2-(3k + 2a)mn + 18$。
因为$kA + 2B$的结果中不含关于$m^2$的项，所以$k - 4 = 0$，解得$k = 4$。
$(3)$判断是否存在有理数$a$
解：已知$A = m^2 - 3mn$，$B = 9 - 2m^2 - amn$，则$2A + B=2(m^2 - 3mn)+(9 - 2m^2 - amn)$
$=2m^2-6mn + 9 - 2m^2 - amn$
$=(2m^2 - 2m^2)+(-6mn - amn)+9$
$=(-6 - a)mn + 9$。
要使$2A + B$的值恒定，则含$mn$的项的系数为$0$，即$-6 - a = 0$，解得$a=-6$。
所以存在有理数$a=-6$，使得$2A + B$的值恒定。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{a = 5}$；$(2)\boldsymbol{k = 4}$；$(3)\boldsymbol{a=-6}$。