《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

数学活动 1 月历中的奥秘
在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律. 如图，这是 2024 年 1 月份的月历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中 4 个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：$9×15 - 8×16 = 7$，$19×25 - 18×26 = 7$，不难发现，结果都是 7.
(1)将每个方框的左上角数字设为$n$，请用含$n$的式子表示你发现的规律：(n+1)(n+7)-n(n+8)=7；
(2)请利用整式的运算对以上规律进行证明.

答案：
(1)(n+1)(n+7)-n(n+8)=7
(2)证明：$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^{2}+8n+7-n^{2}-8n=7。$

数学活动 2 和为定值的两数积的规律
观察下列各式：
①$60×60=60^{2}-0^{2}=3600$；
②$59×61=(60 - 1)×(60 + 1)=60^{2}-1^{2}=3599$；
③$58×62=(60 - 2)×(60 + 2)=60^{2}-2^{2}=3596$；
④$57×63=(60 - 3)×(60 + 3)=60^{2}-3^{2}=3591$；
……
【探究发现】(1)上面的式子表示的规律是$(60 + m)(60 - m)=$60^{2}-m^{2}；观察各等式的左边发现两个因数之和都是 120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数相等时，乘积最大；
【初步应用】(2)根据上面的规律思考，若$a + b = 400$，则$ab$的最大值是40000；
【拓展应用】(3)将一根长 40 cm 的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为$x$ cm，面积为$S$，写出$S$与$x$之间的等量关系，当$x$为何值时，$S$取得最大值？

答案：
(1)$60^{2}-m^{2}$ 相等
(2)40000
(3)$\because$长方形的周长为40cm，一条边的长为$x$cm，则另一条边的长为$(20 - x)$cm，由长方形的面积公式，得$S = x(20 - x)$．$\because$长方形的长与宽的和为定值$x + (20 - x) = 20$，$\therefore$当$x = 20 - x$，即$x = 10$时，$x(20 - x)$最大，即面积$S$最大. 答：$S$与$x$之间的等量关系为$S = x(20 - x)$，当$x = 10$时，$S$取得最大值.