《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$CA$ 平分 $\angle BCD$，$AB \perp BC$，$AD \perp CD$，垂足分别为 $B$，$D$，$E$ 为 $AC$ 上一点，连接 $EB$，$ED$. 求证：
(1)$BC = CD$;
(2)$EB = ED$.

答案： 6.证明：
(1)
∵CA平分∠BCD，
∴∠DCA = ∠BCA.
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠CBA = ∠CDA = 90°.
∵CA = CA，
∴△ABC≌△ADC(AAS).
∴BC
= CD.
(2)在△ECB和△ECD中，$\begin{cases}EC = EC,\\∠ECB = ∠ECD,\\BC = DC,\end{cases}$
∴△ECB≌△ECD(SAS).
∴EB = ED.

7.人大附中校本经典题 如图，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，$CD \perp AB$，垂足为 $D$，$BE \perp AC$，垂足为 $E$，$CD$ 与 $BE$ 相交于点 $F$.
(1)求证：$AC = AB$.
(2)猜想 $CF$ 与 $DF$ 的数量关系，并证明.

答案： 7.解：
(1)证明：连接BC.
∵D是AB的中点，CD⊥AB，
∴CD是线段AB的
垂直平分线.
∴CA = CB.同理BA = BC，
∴AC = AB.
(2)猜想：CF = 2DF.
证明：由
(1)得AC = AB = BC，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠A = ∠ABC
= ∠ACB = 60°.在Rt△ABE中，∠ABE = 90° - ∠A = 30°，
∴在Rt△BFD
中，BF = 2DF.
∵在Rt△ADC中，∠ACD = 90° - ∠A = 30°，
∴∠ABE =
∠ACD.又
∵∠ABC = ∠ACB，
∴∠FBC = ∠FCB.
∴CF = BF.
∴CF
= 2DF.

8.北京四中校本经典题 如图，$\triangle ABC$ 为等腰三角形，$AC = BC$，$\triangle BDC$ 和 $\triangle ACE$ 均为等边三角形，$AE$ 与 $BD$ 相交于点 $F$，连接 $CF$ 交 $AB$ 于点 $G$.
(1)求证：$G$ 为 $AB$ 的中点.
(2)若 $\angle FAG = 15^{\circ}$，求 $\angle BCE$ 的度数.

答案： 8.解：
(1)证明：
∵AC = BC，
∴∠CAB = ∠CBA.
∵△AEC和△BCD均为等
边三角形，
∴∠CAE = ∠CBD = 60°.
∴∠CAE - ∠CAB = ∠CBD -
∠CBA，即∠FAG = ∠FBG.
∴AF = BF.在△AFC和△BFC中，
$\begin{cases}AF = BF,\\AC = BC,\end{cases}$
∴△AFC≌△BFC(SSS).
∴∠ACF = ∠BCF，即CF平分
∠ACB.又
∵AC = BC，
∴AG = BG，即G为AB的中点.
(2)设BD与CE
相交于点M.由
(1)可得∠FBG = ∠FAG = 15°，
∴∠BFE = ∠FBG +
∠FAG = 15° + 15° = 30°.
∵∠E = 60°，
∴∠EMF = 180° - 30° - 60° = 90°.
∴CE⊥BD.在Rt△BCM中，∠BMC = 90°，∠CBD = 60°，
∴∠BCE = 180°