《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

9. 使$\frac{x + 2}{x - 3} ÷ \frac{x + 1}{x - 2}$有意义的条件是(D)

A.$x \neq 3$且$x \neq 2$
B.$x \neq 3$且$x \neq -1$
C.$x \neq 2$且$x \neq -2$
D.$x \neq -1$且$x \neq 2$且$x \neq 3$

答案： 9.D

10. 若$□ ÷ \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{1}{x - 1}$，则$□$中应填(C)

A.$\frac{1}{x - 1}$
B.$\frac{x}{x - 1}$
C.$\frac{x + 1}{x}$
D.$\frac{x - 1}{x}$

答案： 10.C

11. (昆明五华区一模)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是:每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简。过程如图所示:

接力中，自己负责的一步出现错误的是乙和丁。

答案： 11.乙和丁

12. 计算:
(1)$(a - 2) \cdot \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4a + 4}$;
(2)$\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 6a + 9} ÷ \frac{a - 2}{2a + 6}$。

答案： 12.
(1)解:原式$=(a-2)\cdot\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^{2}}=a+2.(2)$解:原式$=\frac{(a+2)(a-2)}{(a+3)^{2}}\cdot\frac{2(a+3)}{a-2}=\frac{2(a+2)}{a+3}=\frac{2a+4}{a+3}$

13. (云南中考改编)先化简，再求值:$\frac{m^{2} - 16}{12 - 3m} ÷ (m^{2} + 4m)$，其中$m = \frac{1}{3}$。

答案： 13.解:原式$=-\frac{(m+4)(m-4)}{3(m-4)}\cdot\frac{1}{m(m+4)}=\frac{1}{3m^{}}.$当$m=\frac{1}{3}$时,原式=-1.

14. (南京中考)化简式子$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x} ÷ \frac{x - 1}{x}$，并判断当$x$满足不等式组$\begin{cases}x + 2 ＜ 1, \\ 2(x - 1) ＞ -6\end{cases}$时，该式子的符号。

答案： 14.解:解不等式x+2＜1,得x＜-1.解不等式2(x-1)＞-6，得x＞-2.
∴原不等式组的解集是-2＜x＜-1.
∴$x+1＜0,x+2＞0.\therefore\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}÷\frac{x-1}{x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x+2}＜0,$即该式子的符号为负.

15. 清华附中校本经典题 有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(x - 1)^{2}kg$，乙筐水果重$(x^{2} - 1)kg$(其中$x ＞ 1$)，售完后，两筐水果都卖了50元。
(1)哪筐水果的单价低?
(2)高的单价是低的单价的多少倍?

答案： $(1)$判断哪筐水果单价低
- 首先根据“单价$=$总价$÷$重量”分别求出两筐水果的单价：
甲筐水果单价$=\frac{50}{(x - 1)^{2}}$元$/$千克；
乙筐水果单价$=\frac{50}{x^{2}-1}=\frac{50}{(x + 1)(x - 1)}$元$/$千克（根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a=x$，$b = 1$）。
- 然后求两筐水果单价的差：
$\frac{50}{(x - 1)^{2}}-\frac{50}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{50(x + 1)-50(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)^{2}}$（通分，通分后分母为$(x + 1)(x - 1)^{2}$）
$=\frac{50x+50 - 50x + 50}{(x + 1)(x - 1)^{2}}=\frac{100}{(x + 1)(x - 1)^{2}}$。
因为$x\gt1$，所以$(x + 1)(x - 1)^{2}\gt0$，则$\frac{100}{(x + 1)(x - 1)^{2}}\gt0$，即$\frac{50}{(x - 1)^{2}}\gt\frac{50}{(x + 1)(x - 1)}$。
所以乙筐水果的单价低。
$(2)$求高的单价是低的单价的多少倍
- 用甲筐水果单价除以乙筐水果单价：
$\frac{\frac{50}{(x - 1)^{2}}}{\frac{50}{(x + 1)(x - 1)}}=\frac{50}{(x - 1)^{2}}×\frac{(x + 1)(x - 1)}{50}$（除以一个数等于乘以它的倒数）
$=\frac{x + 1}{x - 1}$。
所以高的单价（甲筐单价）是低的单价（乙筐单价）的$\frac{x + 1}{x - 1}$倍。
综上，答案依次为：$(1)$乙筐水果单价低；$(2)$$\boldsymbol{\frac{x + 1}{x - 1}}$。