《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

9. (贵州中考)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕.在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是(B)

A.4m
B.6m
C.10m
D.12m

答案： 9.B

10. (昆明期末)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，将△ABC沿BE折叠，使点C落在边AB上的点D处.若EC=6cm，则AC=18cm.

答案： 10.18

11. 某地铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm.双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP=∠BDQ=30°.一名旅客携带如图2所示的长方体行李箱进站(单位：cm).
当双翼收回进闸机箱内时：
(1)根据实际情况，推着B向前更容易通过闸机；(填序号)
A. “80×100”的面
B. “60×100”的面
(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机.

答案： 11. 解：
(1)B
(2)过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥QD于点F.
∵∠ACE = 30°,∠BDF = 30°,
∴$AE = \frac{1}{2}AC = 27 cm,BF = \frac{1}{2}BD = 27 cm. $当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度为AE + AB + BF = 27 + 10 + 27 = 64(cm).
∵60 cm ＜ 64 cm,
∴该旅客的行李箱可以通过闸机.

12. 清华附中校本经典题 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请选择一种进行证明.

选择方法一(或二).

答案： 12. 解：一(或二) 选择方法一，证明：延长BC至点D，使CD = BC，连接AD.
∵∠ACB = 90°,∠BAC = 30°,
∴∠B = 90° - ∠BAC = 60°,∠ACD = 180° - ∠ACB = 90°. 在△BCA和△DCA中，$\begin{cases} AC = AC, \\ ∠ACB = ∠ACD, \\ BC = DC, \end{cases} $
∴△BCA ≌ △DCA(SAS).
∴AD = AB.
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD.
∵$BC = CD = \frac{1}{2}BD,$
∴$BC = \frac{1}{2}AB. $选择方法二，证明：在AB上截取BE = BC，连接CE.
∵∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴∠B = 90° - ∠A = 60°.
∴△BCE是等边三角形.
∴BC = BE = EC,∠BCE = 60°.
∴∠ECA = ∠ACB - ∠BCE = 30°.
∴∠ECA = ∠A = 30°.
∴EC = EA.
∴$BC = BE = EA = \frac{1}{2}AB,$即$BC = \frac{1}{2}AB.$