《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

7. (教材$P60$复习题$T13$变式)求证：全等三角形对应边上的中线相等.
(要求：补全已知、求证，写出证明过程)
已知：如图，$\triangle ABC$≌$\triangle A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$BC$，$B'C'$边上的中线.
求证：AD=A'D'.

证明：

答案： 7.≌ 中线 AD=A'D'
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B= ∠B',BC=B'C'.又
∵AD,A'D'分别是BC,B'C'边上的中线，
∴$BD= \frac {1}{2}BC,B'D'= \frac {1}{2}B'C'.$
∴BD=B'D'.
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS).
∴AD=A'D'.

8. 如图，在$\triangle ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CAB = 50^{\circ}$，按以下步骤作图：①以点$A$为圆心，小于$AC$的长为半径画弧，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$；②分别以点$E$，$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧相交于点$G$；③作射线$AG$交$BC$边于点$D$，则$\angle CDA$的度数为65°.

答案： 8.65°

9. (昆明五华区期末)如图，点$P$是$\angle BAC$的平分线上一点，$PB\perp AB$于$B$，且$PB = 5cm$，$AC = 12cm$，则$\triangle APC$的面积是30$cm^{2}$.

答案： 9.30

10. (湖南师大附中校本经典题)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$AD$是$\angle CAB$的平分线，$DE\perp AB$于点$E$. 已知$AB = 10cm$，则$\triangle DEB$的周长为10$cm$.

答案： 10.10

11. （大理期中）如图，在$\triangle ABC$中，$AD$为$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，$\triangle ABC$面积是$28cm^{2}$，$AB = 20cm$，$AC = 8cm$，求$DE$的长.

答案： 11.解：
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵$S_{△ABC}= \frac {1}{2}AB·DE+ \frac {1}{2}AC·DF=28,$
∴$\frac {1}{2}×20DE+ \frac {1}{2}×8DE=28,$解得DE=2.
∴DE的长为2cm.

12. 如图，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OM$平分$\angle AOB$，直角三角板的顶点$P$在射线$OM$上移动，两直角边分别与$OA$，$OB$相交于点$C$，$D$，问$PC$与$PD$相等吗？试说明理由.

答案： 12.解：PC=PD.理由如下：过点P分别作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F.又
∵OM平分∠AOB,
∴PE=PF.
∵∠AOB=∠PFD=90°,
∴AO//PF.
∴∠EPF=∠AEP=90°.
∴∠EPC+∠CPF=90°.又
∵∠CPD =90°,
∴∠CPF+∠FPD=90°.
∴∠EPC=∠FPD.在△PCE和△PDF中$,\begin{cases} ∠PEC=∠PFD,\\ PE=PF,\\ ∠EPC=∠FPD, \end{cases} $
∴△PCE≌△PDF(ASA).
∴PC=PD.