《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle ACB ＞ 60^{\circ}$，在边$AC$上取点$D$，连接$BD$，使$BD = BC$，以$AD$为一边作等边三角形$ADE$，且使点$E$与点$B$位于直线$AC$的同侧，$\angle EAB = 2\angle BAC$。
（1）求$\angle BDE$的度数；
（2）点$F$在$AB$上，连接$DF$，$DF = BD$，请判断$\triangle BDF$是不是等边三角形，并说明理由。

答案： 5.解：
(1)
∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAC = ∠ADE = 60°.
∵∠EAB = 2∠BAC，
∴∠BAC = 20°.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 80°.
∵BD = BC，
∴∠BDC = ∠ACB = 80°.
∴∠BDE = 180° - ∠BDC - ∠ADE = 40°.
(2)△BDF是等边三角形.理由如下：由
(1)，得∠BDC = ∠ACB = 80°.
∴∠CBD = 180° - ∠BDC - ∠ACB = 20°.
∵∠ABC = 80°，
∴∠FBD = ∠ABC - ∠CBD = 60°.又
∵DF = BD，
∴△BDF是等边三角形.

6. （红河州开远市期末）如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$F$为$AB$的中点，边$AC$的垂直平分线交$AC$，$CF$，$CB$于点$D$，$O$，$E$，连接$OB$。
（1）求证：$\triangle OBC$为等腰三角形；
（2）若$\angle ACF = 23^{\circ}$，求$\angle BOE$的度数。

答案： 6.解：
(1)证明：连接OA，
∵AC = BC，F为AB的中点，
∴CF⊥AB.
∴CF垂直平分AB.
∴OA = OB.
∵DE垂直平分AC，
∴OA = OC.
∴OB = OC.
∴△OBC为等腰三角形.
(2)
∵AC = BC，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB.
∴∠BCF = ∠ACF = 23°.
∵OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCB = 23°.
∵∠EDC = 90°，
∴∠DEC = 90° - ∠DCE = 90° - 23° - 23° = 44°.
∵∠OEC = ∠OBE + ∠BOE，
∴∠BOE = 44° - 23° = 21°.

7. 如图，$O$是等边三角形$ABC$内一点，$\angle AOB = 110^{\circ}$，$\angle BOC = \alpha$。以$OC$为一边作等边三角形$OCD$，连接$AC$，$AD$。
（1）当$\alpha = 150^{\circ}$时，试判断$\triangle AOD$的形状，并说明理由；
（2）探究：当$\alpha$为多少度时，$\triangle AOD$是等腰三角形？

答案： 7.解：
(1)△AOD是直角三角形.理由如下：
∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴BC = AC，OC = CD，∠ACB = ∠DCO = ∠ODC = 60°.
∴∠BCO = ∠ACD.在△BOC和△ADC中，$\begin{cases}OC = DC,\\∠BCO = ∠ACD,\\BC = AC,\end{cases} $
∴△BOC≌△ADC(SAS).
∴∠BOC = ∠ADC.
∵∠BOC = α = 150°，
∴∠ADC = 150°.又
∵∠ODC = 60°，
∴∠ADO = 150° - 60° = 90°.
∴△AOD是直角三角形.
(2)由
(1)可知，△BOC≌△ADC，
∴∠CBO = ∠CAD.设∠CBO = ∠CAD = a，∠ABO = b，∠BAO = c，∠CAO = d，则a + b = 60°，b + c = 180° - 110° = 70°，c + d = 60°.
∴b - d = 10°.
∴(60° - a) - d = 10°.
∴a + d = 50°，即∠DAO = 50°.由
(1)，得∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°.①当∠AOD = ∠ADO时，△AOD是等腰三角形，此时360° - 110° - 60° - α = α - 60°，
∴α = 125°;②当∠OAD = ∠ADO时，△AOD是等腰三角形，此时50° = α - 60°，
∴α = 110°;③当∠OAD = ∠AOD时，△AOD是等腰三角形，此时50° = 360° - 110° - 60° - α，
∴α = 140°.
∴当α为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.