《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

10. （教材 P17 习题 T9 变式）如图，$AB// CD$，直线 $EF$ 分别交 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$，$\angle BEF$ 的平分线与 $\angle DFE$ 的平分线相交于点 $P$，求证：$\triangle EPF$ 为直角三角形。

答案： 10.证明：$\because AB// CD$，$\therefore \angle BEF + \angle DFE = 180^{\circ}$。$\because EP$为$\angle BEF$的平分线，$FP$为$\angle EFD$的平分线，$\therefore \angle PEF = \frac{1}{2}\angle BEF$，$\angle PFE = \frac{1}{2}\angle DFE$。$\therefore \angle PEF + \angle PFE = \frac{1}{2}(\angle BEF + \angle DFE) = \frac{1}{2} × 180^{\circ} = 90^{\circ}$。$\therefore \angle EPF = 180^{\circ} - (\angle PEF + \angle PFE) = 90^{\circ}$。$\therefore \triangle EFP$为直角三角形。

11. （人大附中校本经典题）如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，$AD\perp BC$，$CE\perp AB$。
（1）猜测 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 的关系，并说明理由；
（2）如果 $\angle BAC$ 是钝角，如图 2，（1）中的结论是否还成立？

答案： 11.解：
(1)$\angle 1 = \angle 2$。理由如下：$\because AD\perp BC$，$CE\perp AB$，$\therefore \triangle ABD$和$\triangle BCE$都是直角三角形。$\therefore \angle 1 + \angle B = 90^{\circ}$，$\angle 2 + \angle B = 90^{\circ}$。$\therefore \angle 1 = \angle 2$。
(2)结论仍然成立。理由如下：$\because BD\perp AC$，$CE\perp AB$，$\therefore \angle D = \angle E = 90^{\circ}$。$\therefore \angle 1 + \angle 4 = 90^{\circ}$，$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$。$\because \angle 3 = \angle 4$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。

1. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 30^{\circ} $，$ \angle ACB = 110^{\circ} $，$ AD $ 是边 $ BC $ 上的高线，$ AE $ 平分 $ \angle BAC $，则 $ \angle DAE $ 的度数为40°。

答案： 1.40°

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD \perp BC $，$ AE $ 平分 $ \angle BAC $，$ \angle B = 70^{\circ} $，$ \angle C = 30^{\circ} $。
(1) $ \angle BAE $ 的度数为40°；
(2) $ \angle DAE $ 的度数为20°；
(3) 探究：如果将条件“$ \angle B = 70^{\circ} $，$ \angle C = 30^{\circ} $”改成“$ \angle B - \angle C = 40^{\circ} $”，能得出 $ \angle DAE $ 的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由。

答案： 2. 解：
(1)40°
(2)20°
(3)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C.
∵AE平分∠BAC,
∴$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠C)=90°-\frac{1}{2}(∠B+∠C). $
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=90°-∠B.
∴$∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-\frac{1}{2}(∠B+∠C)-(90°-∠B)=\frac{1}{2}(∠B-∠C). $
∵∠B-∠C=40°,
∴$∠DAE=\frac{1}{2}×40°=20°.$