《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

7. (昆明官渡区期中)如图，$ \angle B = \angle C = 90^{\circ} $，$ M $是 $ BC $的中点，$ DM $平分 $ \angle ADC $，且 $ \angle ADC = 110^{\circ} $，则 $ \angle MAB = $(B)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： 7.B

8. 如图，$ O $是 $ \triangle ABC $内一点，且点 $ O $到 $ \triangle ABC $三边 $ AB $，$ BC $，$ CA $的距离 $ OF = OD = OE $. 若$ \angle BAC = 80^{\circ} $，则 $ \angle BOC = $130°.

答案： 8.130°

9. 新考向 真实情境 如图，铁路 $ OA $和铁路 $ OB $相交于点 $ O $处，河道 $ AB $与铁路分别相交于点 $ A $处和点 $ B $处. 若在河岸上建一座水厂 $ M $，要求 $ M $到铁路 $ OA $，$ OB $的距离相等，则该水厂 $ M $应建在图中的什么位置？请在图中标出点 $ M $的位置.

答案： 9.解：图略,∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置.

10. （教材 $ P52 $习题 $ T3 $变式）如图，已知：$ CD \perp AB $于点 $ D $，$ BE \perp AC $于点 $ E $，$ BE $，$ CD $相交于点 $ O $. 求证：
（1）当 $ \angle 1 = \angle 2 $时，$ OB = OC $;

（2）当 $ OB = OC $时，$ \angle 1 = \angle 2 $.

答案： 10.证明：
(1)
∵∠1=∠2,OD⊥AB,OE⊥AC,
∴OE=OD,∠ODB=∠OEC=90°.在△BOD和△COE中,$\begin{cases} ∠BOD = ∠COE \\ OD = OE \\ ∠ODB = ∠OEC \end{cases}$,
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴OB=OC.
(2)在△BOD和△COE中,$\begin{cases} ∠BOD = ∠COE \\ ∠ODB = ∠OEC \\ OB = OC \end{cases}$,
∴△BOD≌△COE(AAS).
∴OD=OE.又
∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴AO平分∠BAC,即∠1=∠2.

11. 如图，$ D $，$ E $，$ F $分别是 $ \triangle ABC $三边上的点，$ CE = BF $，$ \triangle DCE $和 $ \triangle DBF $的面积相等. 求证：$ AD $平分 $ \angle BAC $.

答案： 11.证明：过点D作DH⊥AB于H,DG⊥AC于G.
∵$S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}CE·DG$,$S_{\triangle DBF}=\frac{1}{2}BF·DH$,$S_{\triangle DCE}=S_{\triangle DBF}$,
∴$\frac{1}{2}CE·DG=\frac{1}{2}BF·DH$.又
∵CE=BF,
∴DG=DH.
∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC.

12. 已知：如图所示，在 $ \triangle ABC $中，$ BD = DC $，$ \angle 1 = \angle 2 $. 求证：$ AD $平分 $ \angle BAC $.

答案： 12.证明：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.在△BED和△CFD中,$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD \\ ∠1 = ∠2 \\ BD = CD \end{cases}$,
∴△BED≌△CFD(AAS).
∴DE=DF.又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.