《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

1. 【教材母题变式】(教材 P85 习题 T11 变式)
如图，点 C 是线段 AB 上除点 A，B 外的任意一点，分别以 AC，BC 为边在线段 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE 交 DC 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，连接 MN. 求证：

(1) $ AE = BD $；
(2) $ MN // AB $.
【拓展设问】 若 BD 与 AE 相交于点 P，连接 CP，判断下列结论是否正确，对的打“√”，错的打“×”.
(1) $ \angle APD = 60^{\circ} $；(√)
(2) $ \triangle ACM \cong \triangle DCN $；(√)
(3) $ CM = CN $；(√)
(4) $ \triangle CMN $是等边三角形；(√)
(5) $ ME = BE $；(×)
(6) PC 平分 $ \angle APB $. (√)

答案： 1.证明：
(1)
∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，
∴AC = DC，CE = CB， ∠DCA = ∠ECB = 60°.
∴∠DCA + ∠DCE = ∠ECB + ∠DCE，即∠ACE = ∠DCB. 在△ACE 和△DCB 中，$\begin{cases} ∠ACE = ∠DCB \\ AC = DC \\ CE = CB \end{cases}，$
∴△ACE ≌ △DCB(SAS).
∴AE = BD.
(2)
∵△ACE ≌ △DCB，
∴∠CAE = ∠CDB.
∵∠ACD = ∠ECB = 60°，且 A，C，B 三点共线，
∴∠DCN = 60°.
∴∠ACM = ∠DCN. 在△ACM 和△DCN 中，$\begin{cases} AC = DC \\ ∠MAC = ∠NDC \\ ∠ACM = ∠DCN \end{cases}，$
∴△ACM ≌ △DCN(ASA).
∴MC = NC.
∵∠MCN = 60°，
∴△MCN 为等边三角形.
∴∠NMC = 60°.
∴∠NMC = ∠DCA.
∴MN//AB.
【拓展设问】
(1)√
(2)√
(3)√
(4)√
(5)×
(6)√

2. 如图，已知等腰三角形 ACB 和等腰三角形 DCE，$ AC = BC $，$ DC = EC $，$ \angle ACB = \angle DCE $，连接 BD，AE 交于点 F，连接 CF. 求证：
(1) $ AE = BD $；
(2) $ \angle AFB = \angle ACB $；
(3) FC 平分 $ \angle BFE $.

答案： 2.证明：
(1)
∵∠ACB = ∠DCE，
∴∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD，即∠BCD = ∠ACE. 又
∵AC = BC，DC = EC，
∴△BCD ≌ △ACE(SAS).
∴AE = BD.
(2)设 AC，BD 相交于点 O.
∵△BCD ≌ △ACE，
∴∠CAE = ∠CBD. 又
∵∠AOF = ∠BOC，
∴∠AFB = ∠ACB.
(3)过点 C 分别作 CM ⊥ BD 于点 M，CN ⊥ EF 于点 N，则∠BMC = ∠ANC = 90°. 在△BCM 和△ACN 中，$\begin{cases} ∠BMC = ∠ANC \\ ∠CBM = ∠CAN \\ BC = AC \end{cases}，$
∴△BCM ≌ △ACN(AAS).
∴CM = CN.
∴FC 平分∠BFE.