《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40^{\circ}$，则它的底角为_____。 

答案：

解题思路：

(1) 当$BD$在$\triangle ABC$内部时，如图1；

(2) 当$BD$在$\triangle ABC$外部时，如图2。

分两种情况讨论：
1. 当高在三角形内部时：
设等腰三角形为$\triangle ABC$，$AB=AC$，$BD\perp AC$于$D$，$\angle ABD=40°$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A=90°-\angle ABD=90°-40°=50°$。
底角$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-\angle A}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
2. 当高在三角形外部时：
设等腰三角形为$\triangle ABC$，$AB=AC$，$BD\perp AC$交$CA$延长线于$D$，$\angle ABD=40°$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD=90°-\angle ABD=90°-40°=50°$，则$\angle BAC=180°-\angle BAD=130°$。
底角$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-\angle BAC}{2}=\frac{180°-130°}{2}=25°$。
综上，底角为$65°$或$25°$。

2. 已知$10^{a}=20$，$100^{b}=50$，则$\frac{1}{2}a + b + \frac{3}{2}$的值是。

答案：

解题思路：
(1) 找到两个已知条件的关联性，可将$100$变形为$10^{2}$，则$100^{b}$可转化为$10^{2b}$；

(2) 要求与$a$，$b$的和相关的式子的值，而$a$，$b$均在指数位置上，只能将$10^{a}$与$10^{2b}$相乘，得$10^{a} \cdot 10^{2b} = 10^{a + 2b} = 1000 = 10^{3}$，再利用整体思想求值。

因为$100^{b}=(10^{2})^{b}=10^{2b}$，且$100^{b}=50$，所以$10^{2b}=50$。
已知$10^{a}=20$，则$10^{a}\cdot10^{2b}=10^{a+2b}=20×50=1000=10^{3}$，故$a+2b=3$。
$\frac{1}{2}a + b=\frac{1}{2}(a + 2b)=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
所以$\frac{1}{2}a + b + \frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$分别在$y$轴和$x$轴上，$\angle ABO = 60^{\circ}$，在坐标轴上找一点$P$，使得$\triangle PAB$是等腰三角形，则符合条件的$P$点有()


A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

答案：
B

解题思路：如图所示，分三种情况讨论。

① 当$AB = AP$时，以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，与$x$轴有一个交点$P_{1}$，与$y$轴有两个交点$P_{2}$，$P_{3}$；

② 当$AB = BP$时，以点$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，与$x$轴有两个交点$P_{1}$，$P_{4}$，其中$P_{1}$与①中重合，与$y$轴有一个交点$P_{5}$；

③ 当$AP = BP$时，画线段$AB$的垂直平分线，与$x$轴有一个交点$P_{1}$(与①中重合)，与$y$轴有一个交点$P_{6}$。