《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

1. 探究活动：
(1) 探究规律：
$ 15^{2}=15 × 15=225=(1 × 2) × 100+25 $$；$ 25^{2}=25 × 25=625=(2 × 3) × 100+25 $$；
$ 35^{2}=35 × 35=1225=(3 × 4) × 100+25 $$；$ 45^{2}= $$45×45=2025=(4×5)×100+25；
……
(2) 猜想规律：$$ \overline{a5}^{2}= $$②(填序号)；(注：$$ \overline{a5} $$表示十位上数字是$$ a $$，个位上数字是 5 的两位数，$$ \overline{a5}^{2} $$表示此两位数的平方)
①$$ 100a^{2}+a+25 $$；②$$ 100a(a+1)+25 $$；③$$ 100a(a - 1)+25 $$.
(3) 推理说明：$$ \overline{a5}^{2} $$是 25 的倍数.

答案： 1.
(1)45×45=2025=(4×5)×100+25
(2)②
(3)
∵$\widehat{a}5^{2}$=100a(a+1)+25=100a²+100a+25=25(4a²+4a+1)=25(2a+1)²，
∴$\widehat{a}5^{2}$是25的倍数。

数学活动 2 利用因式分解生成密码
2. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分. 而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了. 有一种用“分解因式法”产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式. 例如：将多项式 $ x(x^{2}-y^{2}) - 2y(x^{2}-y^{2}) $ 分解因式的结果为 $ (x - y)(x + y)(x - 2y) $，当 $ x = 16 $，$ y = 2 $ 时，$ x - y = 14 $，$ x + y = 18 $，$ x - 2y = 12 $，此时可以得到 6 个六位数的数字密码：141812；141218；181412；181214；121418；121814.
（1）根据上述方法，当 $ x = 25 $，$ y = 2 $ 时，将多项式 $ x^{3} - 9xy^{2} $ 分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）小敏同学设计的多项式为 $ a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4} $，根据上述方法，当 $ a = 14 $，$ b = 2 $ 时，写出将多项式 $ a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4} $ 分解因式后形成的八位数的数字密码；（写出一个即可）
（3）自己写一个多项式，并用上述方法生成一个数字密码.

答案：
(1)$x^{3}-9xy^{2}=x(x^{2}-9y^{2})=x(x - 3y)(x + 3y)$. 当$x = 25,y = 2$时，$x - 3y = 19,x + 3y = 31$.$\therefore$可得数字密码是251931，253119，192531.（答案不唯一）
(2)$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}=(a^{2}-4b^{2})^{2}=(a + 2b)^{2}(a - 2b)^{2}$. 当$a = 14,b = 2$时，$a + 2b = 18,a - 2b = 10$.$\therefore$八位数的数字密码为18181010.（答案不唯一）
(3)答案不唯一，例如：$m^{3}-2m^{2}n + mn^{2}=m(m^{2}-2mn + n^{2})$
$=m(m - n)^{2}$. 当$m = 16,n = 1$时，$m - n = 15$，六位数的数字密码
为161515.