《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

1. 对于一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在(B)
A.长方形的任意一个顶点处
B.长方形两条对角线的交点处
C.长方形的一条边上
D.长方形的外部

答案： 1.B

2. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 $ A,B,C,D,E,F,G $ 在小正方形的格点上，则 $ \triangle ABC $ 的重心是(A)

A.点 $ D $
B.点 $ E $
C.点 $ F $
D.点 $ G $

答案： 2.A

3. 发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心. 重心是个物理名词. 从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心. 如图 1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心 $ O $ 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态. 为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.
如图 2，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线，$ \triangle ACD $ 与 $ \triangle ABD $ 等底等高，面积相等，记作 $ S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD} $.
如图 3，若 $ \triangle ABC $ 的三条中线 $ AD,BE,CF $ 相交于点 $ G $，则 $ GD $ 是 $ \triangle GBC $ 的中线，利用上述结论可得 $ S_{\triangle GCD}=S_{\triangle GBD} $，同理 $ S_{\triangle GBF}=S_{\triangle GAF} $，$ S_{\triangle GAE}=S_{\triangle GCE} $.
(1) 如图 3，设 $ S_{\triangle GCD}=x $，$ S_{\triangle GBF}=y $，$ S_{\triangle GAE}=z $，猜想 $ x,y,z $ 之间的数量关系，并证明你的猜想.
(2) 由 (1) 可知，被三条中线分成的六个三角形面积相等. 如果 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ m $，那么用含有 $ m $ 的式子表示 $ \triangle BGC $ 的面积为$\frac{1}{3}m$，$ BG:GE= $$2:1$.
(3) 如图 4，$ \triangle ABC $ 的两条中线 $ BD,CE $ 相交于点 $ G $，点 $ G $ 是 $ \triangle ABC $ 的重心，$ BD=6 $，$ CE=9 $，$ BD \perp CE $，求四边形 $ AEGD $ 的面积.

答案：
3.解：
(1)猜想：$x = y = z$。证明：由题意可知，$S_{\triangle GCD} = S_{\triangle GBD} = x$，$S_{\triangle GBF} = S_{\triangle AGF} = y$，$S_{\triangle GAE} = S_{\triangle GCE} = z$，$\because S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$，$\therefore 2y + x = 2z + x$。$\therefore y = z$。$\because S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ABE}$，$\therefore 2x + z = 2y + z$。$\therefore x = y$。$\therefore x = y = z$。
(2)相等 $\frac{1}{3}m$
$2:1$
(3)$\because$点$G$是$\triangle ABC$的重心，$\therefore$由
(2)可知，$BG:GD = CG:GE =$
$2:1$。$\because BD = 6$，$CE = 9$，$\therefore BG = 4$，$CG = 6$。$\because BD\perp CE$，$\therefore S_{\triangle BGC} = \frac{1}{2}BG\cdot$
$CG = \frac{1}{2}×4×6 = 12$。由
(2)可知，$S_{\triangle ABC} = 3S_{\triangle BGC} = 36$，$S_{\triangle BEG} = S_{\triangle CDG} =$
$\frac{1}{2}S_{\triangle BGC} = 6$。$\therefore S_{四边形AEGD} = 36 - 6 - 6 - 12 = 12$。