《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

3. 如图，$ \triangle ABC $是等边三角形，P 是 $ \triangle ABC $外一点，且 $ \angle ABP + \angle ACP = 180^{\circ} $. 求证：$ PB + PC = PA $.

答案： 3.证明：延长 PC 到点 D，使 CD = PB，连接 AD.
∵∠ABP + ∠ACP = 180°， ∠ACP + ∠ACD = 180°，
∴∠ABP = ∠ACD.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = 60°.
∴△ABP ≌ △ACD(SAS).
∴AP = AD，∠BAP = ∠CAD.
∵∠BAP + ∠PAC = ∠BAC = 60°，
∴∠CAD + ∠PAC = 60°，即∠PAD = 60°.
∴△PAD 是等边三角形.
∴PA = PD = PC + CD.
∴PB + PC = PA.

4. 如图，在 $ \triangle ABC $中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 为 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 $ BE = AF $. 求证：$ \triangle DEF $为等腰直角三角形.

答案： 4.证明：连接 AD，
∵AB = AC，∠BAC = 90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形.
∵D 为 BC 的中点，
∴AD = BD = CD，∠ADB = 90°，AD 平分∠BAC.
∴∠BAD = ∠CAD = ∠B = 45°. 在△BDE 和△ADF 中，$\begin{cases} BD = AD \\ ∠B = ∠DAF \\ BE = AF \end{cases}，$
∴△BDE ≌ △ADF(SAS).
∴DE = DF，∠BDE = ∠ADF.
∵∠ADB = ∠BDE + ∠ADE = 90°，
∴∠ADF + ∠ADE = 90°，即∠EDF = 90°.
∴△EDF 为等腰直角三角形.

5. 如图，在 $ \triangle ABC $中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 为 BC 的中点. 若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍有 $ BE = AF $，则 $ \triangle DEF $是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.

答案： 5.解：△DEF 仍为等腰直角三角形. 证明：连接 AD，
∵AB = AC，∠BAC = 90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形.
∵D 为 BC 的中点，
∴AD = BD，AD⊥BC.
∴∠DAC = ∠ABD = 45°.
∴∠DAF = ∠DBE = 135°. 又
∵AF = BE，
∴△DAF ≌ △DBE(SAS).
∴FD = ED，∠FDA = ∠EDB.
∴∠EDF = ∠EDB + ∠FDB = ∠FDA + ∠FDB = ∠ADB = 90°.
∴△DEF 仍为等腰直角三角形.