《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

【教材母题】(教材 P22 复习题 T8)如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G. 求证：
(1)∠BGC = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)；
(2)∠BGC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.

答案： 证明：$(1)$
∵$BE，$$CF$分别是$∠ABC，$$∠ACB$的平分线，
∴$∠GBC + ∠GCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB). $
∴$∠BGC = 180° - (∠GBC + ∠GCB). $
∴$∠BGC = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB). (2)$由$(1)$知$∠BGC = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)，$$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，$
∴$∠BGC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠A). $
∴$∠BGC = 90° + \frac{1}{2}∠A.$　　

1. (昭通昭阳区期中)如图，点 O 是△ABC 内一点，∠A = 60°，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，则∠BOC 等于 (B)

A.110°
B.120°
C.130°
D.无法确定

答案： 1.B

2. (曲靖月考改编)如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A₁，∠A₁BC 的平分线与∠A₁CD 的平分线交于点 A₂，……，$∠A_{n - 1}BC $的平分线与$∠A_{n - 1}CD $的平分线交于点 A_n. 设∠A = θ.
(1)求∠A₁ 的度数；
(2)直接写出∠A_n 的度数.

答案： 2.
(1)
∵BA₁是∠ABC的平分线，CA₁是∠ACD的平分线，
∴$∠A₁BC = \frac{1}{2}∠ABC，$$∠A₁CD = \frac{1}{2}∠ACD. $又
∵∠ACD = ∠A + ∠ABC，∠A₁CD = ∠A₁BC + ∠A₁，
∴$\frac{1}{2}(∠A + ∠ABC) = \frac{1}{2}∠ABC + ∠A₁. $
∴$∠A₁ = \frac{1}{2}∠A. $
∵∠A = θ，
∴$∠A₁ = \frac{θ}{2}. (2)∠Aₙ = \frac{θ}{2^n}.$

3. 如图所示，BO，CO 分别是△ABC 的外角平分线.
(1)若∠ABC = 40°，∠ACB = 60°，则∠BOC = 50°；
(2)若∠A = 60°，则∠BOC = 60°；
(3)试探索∠BOC 与∠A 之间的数量关系.

答案： 3.
(1)50°
(2)60°
(3)
∵BO，CO分别是△ABC的外角平分线，
∴$∠OBC = \frac{1}{2}∠EBC，$$∠OCB = \frac{1}{2}∠FCB.$在△BOC中，$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠EBC + ∠FCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC) = 180° - \frac{1}{2}(180° + ∠A) = 90° - \frac{1}{2}∠A.$