《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

核心考点 1 牧民饮马问题
1. 如图，直线 $ l $ 是一条河，$ P $，$ Q $ 是两个村庄。计划在 $ l $ 上的某处修建一个水泵站 $ M $，向 $ P $，$ Q $ 两地供水。现有如下四种铺设方案(图中实线表示铺设的管道)，则所需管道最短的是(D)

答案： 1.D 

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $ A(1,1) $，$ B(4,3) $。
(1)$ C $ 是 $ x $ 轴上的一个动点，当 $ AC + BC $ 的值最小时，在图中画出点 $ C $ 的位置。
(2)本题用到了哪些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上：①②④。(填序号)
①两点之间，线段最短；②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
③角的平分线上的点到角两边的距离相等；④三角形两边之和大于第三边。

答案：
2.解：
(1)
(2)①②④

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(1,3) $，$ B(3,-1) $，$ M $ 是 $ x $ 轴上一动点，当 $ AM - BM $ 的值最大时，在图中画出点 $ M $ 的位置，并写出点 $ M $ 的坐标：(4,0)。

答案：
3.解：(4,0) 

4. 如图，草地边缘 $ OM $ 与小河河岸 $ ON $ 在点 $ O $ 处形成 $ 30^{\circ} $ 的夹角，牧马人从 $ A $ 地出发，先牵着马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到 $ A $ 地。已知 $ OA = 2\ km $，请在图中设计一条路线，使所走的路程最短，并求出整个过程所行走的路程。

答案： 4.解：分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C，连接BC交OM,ON于点D,E，连接AD,AE，则线段AD,DE,EA即为所求路线.连接OB,OC.由作图可得，OB=OA=2km,∠BOC=2∠MON=60°,BD=AD,AE=CE，
∴△OBC为等边三角形.
∴BC=OB=2km.
∴AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2km，即整个过程所行走的路程为2km.

5. 如图 1，$ A $，$ B $ 两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为 $ a $。现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使 $ A $，$ B $ 之间的路程最短，试画出造桥位置。对于此题，我们可以这样解决：
如图 2，把点 $ A $ 向下平移河宽 $ a $ 到点 $ A' $，连接 $ A'B $ 交 $ l_2 $ 于点 $ C $；过点 $ C $ 作 $ CD \perp l_1 $ 于点 $ D $，则 $ CD $ 就是造桥位置。
请仿照以上材料，解决如下问题：
如图 3，$ A $，$ B $ 两村之间有两条互相平行的河。一条河宽 $ a $，另一条河宽 $ b $，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使 $ A $，$ B $ 之间的路程最短，试画出造桥位置。

答案：
5.解：