《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

7. 如图，AB=CB，AD=CD，E是BD上任意一点. 求证：AE=CE.

答案： 7 证明：在△ABD 和△CBD 中，$ \begin{cases} AB = CB \\ BD = BD \\ AD = CD \end{cases} $
∴△ABD ≌ △CBD(SSS).
∴∠ADE = ∠CDE. 在△ADE 和△CDE 中，$ \begin{cases} AD = CD \\ ∠ADE = ∠CDE \\ DE = DE \end{cases} $
∴△ADE ≌ △CDE(SAS).
∴AE = CE.

8. (昆明官渡区期中)如图，AC//BD，AC=BD.
(1)求证：AD//BC；

(2)在AB上取两点E，F，使AE=BF，请判断DE，CF有何关系，并说明理由.

答案： 8 解：
(1) 证明：
∵AC // BD，
∴∠CAB = ∠DBA. 在△ABC 和△BAD 中，$ \begin{cases} AC = BD \\ ∠CAB = ∠DBA \\ AB = BA \end{cases} $
∴△ABC ≌ △BAD(SAS).
∴∠ABC = ∠BAD.
∴AD // BC.
(2)DE = CF，且 DE // CF. 理由如下：由
(1) 知，△ABC ≌ △BAD，
∴BC = AD，∠FBC = ∠EAD. 在△AED 和△BFC 中，$ \begin{cases} AD = BC \\ ∠EAD = ∠FBC \\ AE = BF \end{cases} $
∴△AED ≌ △BFC(SAS).
∴DE = CF，∠AED = ∠BFC.
∴180° - ∠AED = 180° - ∠BFC，即 ∠DEB = ∠AFC.
∴DE // CF.

9. 如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE. 求证：BE=$\frac{1}{2}$AD.

答案： 9 证明：延长 AC，BE 交于点 F.
∵∠ACB = 90°，BE ⊥ AE，
∴∠CAD + ∠CDA = 90°，∠EDB + ∠EBD = 90°.
∵∠CDA = ∠EDB，
∴∠CAD = ∠EBD，即 ∠CAD = ∠CBF. 在 △ADC 和 △BFC 中，$ \begin{cases} ∠CAD = ∠CBF \\ AC = BC \\ ∠ACD = ∠BCF \end{cases} $
∴△ADC ≌ △BFC(ASA).
∴AD = BF.
∵AE 平分 ∠ACD = ∠BCF，∠BAC，
∴∠FAE = ∠BAE. 在△AEF 和△AEB 中，$ \begin{cases} ∠FAE = ∠BAE \\ AE = AE \\ ∠AEF = ∠AEB \end{cases} $
∴△AEF ≌ △AEB(ASA).
∴BE = EF，即$ BE = \frac{1}{2}BF. $
∴$BE = \frac{1}{2}AD.$