《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

3. (昆明民大附中期末) 先化简，再求值：$(1 - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$，其中$x = 2$。

答案： 3.解：原式$= \frac{x + 2 - 1}{(x - 1)(x + 1)}= \frac{x + 2}{(x - 1)(x + 1)}= \frac{1}{x - 1}。$当x = 2时，原式= 1。

4. 先化简，再求值：$\frac{1}{x - y} \cdot (\frac{2y}{x + y} - 1) ÷ \frac{1}{y^{2} - x^{2}}$，其中$x = y + 2025$。

答案： 4.解：原式$= \frac{1}{x - y} \cdot \frac{2y - (x + y)}{x + y} \cdot (y + x)(y - x)= -(2y - x - y)= x - y。$
∵x = y + 2025，
∴原式= y + 2025 - y= 2025。

5. (红河州期末) 先化简，再求值：$(\frac{a + 2}{a^{2} - 2a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4a + 4}) ÷ \frac{a - 4}{a}$，其中$a = 2 + \sqrt{3}$。

答案： 5.解：原式$= \frac{(a + 2)(a - 2) - a(a - 1)}{a(a - 2)^2} \cdot \frac{a}{a - 4}= \frac{a^2 - 4 - a^2 + a}{a(a - 2)^2} \cdot \frac{a}{a - 4}= \frac{a - 4}{a(a - 2)^2} \cdot \frac{a}{a - 4} \cdot \frac{1}{(a - 2)^2}。$当$a = 2 + \sqrt{3}$时，原式$= \frac{1}{(2 + \sqrt{3} - 2)^2}= \frac{1}{3}。$

6. (大理州期末) 先化简：$(\frac{x^{2} + 4}{x} - 4) ÷ \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2x}$，再在$-2$，$0$，$1$，$2$中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值。

答案： 6.解：原式$= \frac{x^2 + 4 - 4x}{x} \cdot \frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)^2}{x}= x - 2。$
∵x ≠ 0，x - 2 ≠ 0，x + 2 ≠ 0，
∴x ≠ 0，2，-2。
∴当x = 1时，原式= 1 - 2 = -1。

7. (昆明盘龙区二模) 先化简，再求值：$(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 1}$，从不等式组$\begin{cases}2x - 1 \leq 6, \\ \frac{1 - x}{2} \leq 0\end{cases}$的解集中选一个适当的整数代入求值。

答案： 7.解：原式$= \frac{x - 1 - 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 2)^2}= \frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 2)^2}= \frac{x + 1}{x - 2}。$解2x - 1 ≤ 6，$\frac{1 - x}{2} ≤ 0，$得1 ≤ x ≤ 3.5。
∴不等式组的整数解为1，2，3。
∵要使分式有意义，
∴(x + 1)(x - 1) ≠ 0且$(x - 2)^2 ≠ 0，$
∴x ≠ -1且x ≠ 1且x ≠ 2。
∴x = 3。当x = 3时，原式$= \frac{3 + 1}{3 - 2}= 4。$