《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

6. 【问题情景】如图 1，在平面直角坐标系中，$ A(3,0) $，$ B(1,3) $，在 $ y $ 轴上找一点 $ C $，使得 $ AC + BC $ 的值最小，请探究点 $ C $ 的坐标。
【方法分析】(1)小刚的做法是先画出点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A' $，连接 $ A'B $ 交 $ y $ 轴于点 $ C $，则此时 $ AC + BC $ 的值最小。请在图 1 中按照小刚的方法完成作图。小刚进一步发现：连接 $ OB $，利用 $ S_{\triangle A'OB} = S_{\triangle A'OC} + S_{\triangle BOC} $ 列方程，可求出点 $ C $ 的坐标。请按照小刚的思路求出点 $ C $ 的坐标；
【问题解决】(2)为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案(平面示意图如图 2)。假定长江两岸为互相平行的直线 $ l_1 $，$ l_2 $，且 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相距 $ 1200\ m $，铁路所在直线垂直于 $ l_1 $。位于点 $ A $ 处的化工厂与 $ l_1 $ 相距 $ 600\ m $，与铁路相距 $ 2400\ m $，位于点 $ B $ 处的火车站与 $ l_2 $ 相距 $ 2400\ m $。若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使 $ A $，$ B $ 两点之间的路径最短？请完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离。

答案： 6.解：
(1)小刚的方法图略，则此时AC+BC的值最小.
∴OA'=OA=3.
∵S△A′OB​=S△A′OC​+S△BOC​，
∴21​OA′⋅3=21​OA′⋅OC+21​OC⋅1.
∴OC=49​.
∴C(0,49​).
(2)将点A向右平移1200m至点A'，连接AA'交l1​于点C，连接A'B交l2​于点N，作MN⊥l2​交l1​于点M，则桥修在MN处.作A'E⊥MN于点D，交铁路所在的直线于点E，设直线l2​与铁路所在的直线相交于点F.设DE=NF=xm.由题意，得AC=A'C=MD=600m，A′E=2400m,BF=2400m,
∴DN=EF=MN−MD=600m,BE=EF+BF=3000m.
∵S△A′BE​=S△NBF​+S梯形A′EFN​，
∴21​A′E⋅BE=21​BF⋅NF+21​(NF+A′E)⋅EF.
∴21​×2400×3000=21​×2400⋅x+21​×600(x+2400)，解得x=1920.
∴桥与铁路的距离为1920m.