《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

如图，∵ $ PD \perp OB $于点 $ D $，$ PC \perp OA $于点 $ C $，且 $ PC = PD $，∴ $ OP $平分∠AOB.

答案： 平分线；∠AOB

1. 如图，$ PM \perp AC $于点 $ M $，$ PN \perp AB $于点 $ N $，$ PM = 2 $，当 $ PN = $2时，点 $ P $在$ \angle BAC $的平分线上.

答案： 1.2

2. 如图，$ PM \perp OA $，$ PN \perp OB $. 若 $ PM = PN $，$ \angle BOC = 30^{\circ} $，则 $ \angle AOB $的度数为(C)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $

答案： 2.C

3. 请证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，点 $ P $在 $ \angle AOB $内，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD.
求证：OP平分∠AOB.
证明：

答案： 3.PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD OP平分∠AOB 连接OP.
∵PC⊥OA,PD⊥OB,
∴∠OCP=∠ODP=90°.在Rt△POC和Rt△POD中,$\begin{cases} PO = PO \\ PC = PD \end{cases}$,
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL).
∴∠COP=∠DOP,即OP平分∠AOB.

三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三角形的三条边距离相等.

如图，在 $ \triangle ABC $中，$ BD $，$ CE $分别平分$ \angle ABC $，$ \angle ACB $，并且 $ BD $，$ CE $相交于点 $ O $，
∵ $ OP \perp BC $于点 $ P $，$ OM \perp AB $于点 $ M $，$ ON \perp AC $于点 $ N $，
∴ $ OP = OM $，$ OP = ON $.
∴ $ OP = OM = $ON.
∴点 $ O $也在∠BAC的平分线上.

答案： 三角形的三条边距离相等；ON；∠BAC

4. 到三角形的三条边距离相等的点是这个三角形(A)

A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.以上都不对

答案： 4.A

5. 如图，$ \triangle ABC $的三边 $ AB $，$ AC $，$ BC $的长分别为 $ 4 $，$ 6 $，$ 8 $，其三条角平分线将 $ \triangle ABC $分成三个三角形，则 $ S_{\triangle OAB}:S_{\triangle OAC}:S_{\triangle OBC}= $2:3:4.

答案： 5.2:3:4

6. 如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有(D)

A.$ 1 $处
B.$ 2 $处
C.$ 3 $处
D.$ 4 $处

答案： 6.D