《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle ABC = 80^{\circ}$，$BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$，$ED \perp AB$于点$D$。求证：$AD = BD$。

答案： 1.证明：
∵BE平分∠ABC，
∴$∠ABE = \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}×80° = 40°.$
∵∠A = 40°，
∴∠A = ∠ABE.
∴AE = BE.
∴△ABE为等腰三角形.
∵ED⊥AB，
∴AD = BD.

2. 如图，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AD \perp AC$，$AE \perp AB$。
（1）求$\angle C$的度数；
（2）求证：$\triangle ADE$是等边三角形。

答案： 2.解：
(1)
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B = ∠C = 30°.
(2)证明：
∵∠B = ∠C = 30°，AD⊥AC，AE⊥AB.
∴∠ADC = ∠AEB = 60°.
∴∠ADC = ∠AEB = ∠EAD = 60°.
∴△ADE是等边三角形.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BD$和$CE$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，且相交于点$O$。
（1）求证：$\triangle OBC$是等腰三角形；

（2）连接$OA$，试判断直线$OA$与线段$BC$的关系，并说明理由。

答案： 3.解：
(1)证明：
∵在△ABC中，AB = AC，
∴∠ABC = ∠BCA.
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠BCA，
∴$∠OBC = \frac{1}{2}∠ABC，$$∠BCO = \frac{1}{2}∠ACB. $
∴∠OBC = ∠BCO.
∴OB = OC.
∴△OBC是等腰三角形.
(2)解法一：直线AO垂直平分线段BC，理由如下：在△AOB和△AOC中，$\begin{cases}AB = AC,\\AO = AO,\\BO = CO,\end{cases} $
∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠BAO = ∠CAO.
∴直线AO垂直平分线段BC.解法二：直线AO垂直平分线段BC，理由如下：
∵OB = OC，AB = AC，
∴OA垂直平分线段BC.

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 10\ cm$，$BP$，$CP$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，$PD // AB$，$PE // AC$。
（1）求证：$BD = PD$；
（2）求$\triangle PDE$的周长。

答案： 4.解：
(1)证明：
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP = ∠PBD.又
∵PD//AB，
∴∠ABP = ∠BPD.
∴∠PBD = ∠BPD.
∴BD = PD.
(2)由
(1)知BD = PD，同理CE = PE，
∴△PDE的周长为PD + DE + PE = BD + DE + EC = BC = 10cm，即△PDE的周长是10cm.