《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

6. 先化简，再求值：
(1)$(2 + a)(2 - a)+a(a + 1)$，其中$a=\sqrt{2}-4$；
(2)$(1 + x)(1 - x)+x(x + 2)-1$，其中$x=\frac{1}{2}$；
(3)$(a + b)(a - 2b)-(a + 2b)(a - b)$，其中$a=-2$，$b=\frac{2}{3}$；
(4)$(x + y)(x - y)+(xy^{2}-2xy)÷ x$，其中$x = 1$，$y=\frac{1}{2}$.

答案： 6.
(1)解：原式$= 4 - a^{2} + a^{2} + a = 4 + a。$当$a= \sqrt{2} - 4$时，原式$= 4 + \sqrt{2} - 4 = \sqrt{2}。$
(2)解：原式$= 1 - x^{2} + x^{2} + 2x - 1 = 2x。$当$x= \frac{1}{2}$时，原式$= 2 × \frac{1}{2} = 1。$
(3)解：原式= -2ab。当a= -2，$b= \frac{2}{3}$时，原式$= (-2) × (-2) × \frac{2}{3} = \frac{8}{3}。$
(4)解：原式$= x^{2} - y^{2} + y^{2} - 2y = x^{2} - 2y。$当x= 1，$y= \frac{1}{2}$时，原式$= 1^{2} - 2 × \frac{1}{2} = 0。$

7. （北京中考）已知$x^{2}+2x - 2 = 0$，求式子$x(x + 2)+(x + 1)^{2}$的值.

答案： 7.解：原式$= x^{2} + 2x + x^{2} + 2x + 1 = 2x^{2} + 4x + 1。$
∵$ x^{2} + 2x - 2 = 0，$
∴$ x^{2} + 2x = 2。$
∴原式$= 2(x^{2} + 2x) + 1 = 2 × 2 + 1 = 5。$

8. （邵阳中考）已知：$|m - 1|+\sqrt{n + 2}=0$.
(1)求$m$，$n$的值；
(2)先化简，再求值：$m(m - 3n)+(m + 2n)^{2}-4n^{2}$.

答案： 8.解：
(1)根据非负数的性质，得m - 1 = 0且n + 2 = 0。解得m = 1，n = -2。
(2)原式$= m^{2} - 3mn + m^{2} + 4mn + 4n^{2} - 4n^{2} = 2m^{2} + mn。$当m = 1，n = -2时，原式= 2 × 1 + 1 × (-2) = 0。

9. 试说明：式子$(a + 1)(a - 1)+a(1 - a)-a$的值与$a$的取值无关.

答案： 9.解：
∵原式$= a^{2} - 1 + a - a^{2} - a = -1，$
∴该式子的值与a的取值无关。

10. （河北中考）发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和.
验证：如$(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2}=10$为偶数，请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和.
探究：设“发现”中的这两个正整数为$m$，$n$，请验证“发现”中的结论.

答案： 10.解：验证：10的一半为5，$5 = 1 + 4 = 1^{2} + 2^{2}。$探究：$(m + n)^{2} + (m - n)^{2} = m^{2} + 2mn + n^{2} + m^{2} - 2mn + n^{2} = 2m^{2} + 2n^{2} = 2(m^{2} + n^{2})。$故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和。