《2025年名校课堂八年级数学上册人教版云南专版》

7. 化简：$\frac{9}{a + 1} ÷ (\frac{2}{a - 1} + \frac{a - 2}{a^{2} - 1}) =$\frac{3a-3}{a}。

答案： $7.\frac{3a-3}{a}$

8. (河北中考)若$x$和$y$互为倒数，则$(x + \frac{1}{y})(2y - \frac{1}{x})$的值是(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 8.B

9. 已知$a^{2} - a + 1 = 2$，则$\frac{2}{a^{2} - a} + a - a^{2}$的值为1。

答案： 9.1

10. 计算：
（1）$(\frac{x + 2}{x - 3} + x + 2) ÷ \frac{x^{2} - 4x + 4}{x - 3}$；
（2）$\frac{a + 1}{a} \cdot (\frac{2a}{a + 1})^{2} - (\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1})$。

答案： 10.
(1)解：原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{x-3}\cdot\frac{x-3}{(x-2)^{2}}=\frac{x+2}{x-2}.(2)$解：原式$=\frac{a+1}{a}\cdot$
$\frac{4a^{2}}{(a+1)^{2}\cdot(a-1)}=\frac{4a}{(a+1)(a-1)}=\frac{4a}{a+1}\cdot\frac{2}{(a+1)(a-1)}=\frac{4a^{2}-4a-2}{a^{2}-1}.$

11. 先化简，再求值：$\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1} ÷ (1 - \frac{3}{x + 1})$，其中$x$满足$2x - 6 = 0$。

答案： 11.解：原式$=\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x+1}{x+1}=\frac{3}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-1}{x-2}.$解方
程2x-6=0，得$x=3.\therefore$原式$=\frac{3-1}{3-2}=2.$

12. 北师大附属实验校本经典题 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，速度为$2v$km/h。小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的速度为$v$km/h，在下坡路上的速度为$3v$km/h。
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间更少？少用多长时间？

答案： 12.解：$(1)\because$小刚走上坡路的时间为$\frac{1}{v}h，$走下坡路的时间为$\frac{2}{3v}h,\therefore$小刚
从家到学校需要的时间为$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}(h).(2)$小丽花费的时间为
$\frac{3}{2v}h,\therefore\frac{5}{3v}=\frac{3}{2v}=\frac{1}{6v}(h),\therefore$小丽花费的时间更少，少用了$\frac{1}{6v}h.$

13. 新考向 推理能力 观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} × \frac{0}{2} = 1$；
第2个等式：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = 1$；
第3个等式：$\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} × \frac{2}{4} = 1$；
第4个等式：$\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} × \frac{3}{5} = 1$；
第5个等式：$\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} × \frac{4}{6} = 1$；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1；
(2)写出你猜想的第$n$个等式：\frac{1}{n}-\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}=1($n$为正整数)，并证明。

答案： $13.(1)\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1(2)\frac{1}{n}-\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}=1 $证明：$\because$
左边$=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}=\frac{n-1+n(n-1)+n-1}{n(n+1)}=1=$右边，$\therefore$原
等式成立.