《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

8. (多选)下列式子中，值为$\frac{1}{4}$的是（ ）
A. $\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}$
B. $\sin15^{\circ}\sin75^{\circ}$
C. $\frac{1}{\sin50^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos50^{\circ}}$
D. $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\cos^{2}15^{\circ}$

答案： AB [$\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}=\frac{2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{2\sin72^{\circ}\cos72^{\circ}}{4\sin36^{\circ}}=\frac{\sin144^{\circ}}{4\sin36^{\circ}}=\frac{1}{4}$，故A正确；$\sin15^{\circ}\sin75^{\circ}=\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}=\frac{1}{2}\times2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}=\frac{1}{2}\sin30^{\circ}=\frac{1}{4}$，故B正确；$\frac{1}{\sin50^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos50^{\circ}}=\frac{\cos50^{\circ}+\sqrt{3}\sin50^{\circ}}{\sin50^{\circ}\cos50^{\circ}}=\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin50^{\circ}+\frac{1}{2}\cos50^{\circ})}{\frac{1}{2}\sin100^{\circ}}=\frac{2\sin80^{\circ}}{\frac{1}{2}\sin80^{\circ}} = 4$，故C错误；$\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\cos^{2}15^{\circ}=-\frac{1}{3}(2\cos^{2}15^{\circ}-1)=-\frac{1}{3}\cos30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$，故D错误。故选AB。]

9. $\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}$的值为________.

答案： 答案 $\frac{1}{8}$
解析 $\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}=\frac{8\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}}{8\sin20^{\circ}}=\frac{\sin160^{\circ}}{8\sin20^{\circ}}=\frac{1}{8}$。

10. 已知$\tan\alpha = 2\cos\beta\neq0,\cos(\alpha - \beta) = \frac{2}{3}\sin\alpha$，则$\sin\beta =$________.

答案： 答案 $\frac{1}{6}$
解析 因为$\tan\alpha = 2\cos\beta\neq0$，所以$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\cos\beta\neq0\Rightarrow\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\sin\alpha$，且$\sin\alpha\neq0$，$\cos\alpha\neq0$，又$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{2}{3}\sin\alpha$，所以$\frac{1}{2}\sin\alpha+\sin\alpha\sin\beta=\frac{2}{3}\sin\alpha$，因为$\sin\alpha\neq0$，所以$\frac{1}{2}+\sin\beta=\frac{2}{3}\Rightarrow\sin\beta=\frac{1}{6}$。

11. (2023·新课标Ⅱ卷)已知$\alpha$为锐角，$\cos\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$，则$\sin\frac{\alpha}{2}=$（ ）
A. $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$
B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$
C. $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$
D. $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

答案： D [因为$\cos\alpha = 1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，而$\alpha$为锐角，解得$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。故选D。]

12. (2023·新课标Ⅰ卷)已知$\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3},\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{6}$，则$\cos(2\alpha + 2\beta)=$（ ）
A. $\frac{7}{9}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $-\frac{1}{9}$
D. $-\frac{7}{9}$

答案： B [因为$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}$，而$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{6}$，因此$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}$，则$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{2}{3}$，所以$\cos(2\alpha + 2\beta)=\cos[2(\alpha + \beta)]=1 - 2\sin^{2}(\alpha + \beta)=1-2\times(\frac{2}{3})^{2}=\frac{1}{9}$。故选B。]

13. (2022·新高考Ⅱ卷)若$\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\sqrt{2}\cos(\alpha + \frac{\pi}{4})\cdot\sin\beta$，则（ ）
A. $\tan(\alpha - \beta) = 1$
B. $\tan(\alpha + \beta) = 1$
C. $\tan(\alpha - \beta) = -1$
D. $\tan(\alpha + \beta) = -1$

答案： C [由已知得$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=2(\cos\alpha - \sin\alpha)\sin\beta$，即$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta = 0$，即$\sin(\alpha - \beta)+\cos(\alpha - \beta)=0$，所以$\tan(\alpha - \beta)= - 1$。故选C。]

14. (2021·全国甲卷)若$\alpha \in (0,\frac{\pi}{2}),\tan2\alpha = \frac{\cos\alpha}{2 - \sin\alpha}$，则$\tan\alpha =$（ ）
A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

答案： A [因为$\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 - 2\sin^{2}\alpha}$，且$\tan2\alpha=\frac{\cos\alpha}{2 - \sin\alpha}$，所以$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 - 2\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos\alpha}{2 - \sin\alpha}$，因为$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\cos\alpha\neq0$，$\sin\alpha=\frac{1}{4}$，所以$\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{15}$。故选A。]

15. (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知$O$为坐标原点，点$P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$P_2(\cos\beta,-\sin\beta)$，$P_3(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta))$，$A(1,0)$，则（ ）
A. $|\overrightarrow{OP_1}| = |\overrightarrow{OP_2}|$
B. $|\overrightarrow{AP_1}| = |\overrightarrow{AP_2}|$
C. $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3} = \overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}$
D. $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1} = \overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}$

答案： AC [对于A，因为$|\overrightarrow{OP_{1}}|=\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=1$，$|\overrightarrow{OP_{2}}|=\sqrt{\cos^{2}\beta+(-\sin\beta)^{2}}=1$，所以A正确；对于B，因为$|\overrightarrow{AP_{1}}|=\sqrt{(\cos\alpha - 1)^{2}+\sin^{2}\alpha}=\sqrt{2 - 2\cos\alpha}$，$|\overrightarrow{AP_{2}}|=\sqrt{(\cos\beta - 1)^{2}+\sin^{2}\beta}=\sqrt{2 - 2\cos\beta}$，所以B错误；对于C，因为$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=(1,0)\cdot(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta))=\cos(\alpha + \beta)$，$\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha + \beta)$，所以$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}$，所以C正确；对于D，因为$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}=(1,0)\cdot(\cos\alpha,\sin\alpha)=\cos\alpha$，$\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=(\cos\beta,-\sin\beta)\cdot(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta))=\cos\beta\cos(\alpha + \beta)-\sin\beta\sin(\alpha + \beta)=\cos(2\beta+\alpha)$，所以D错误。故选AC。]

16. (2022·浙江高考)若$3\sin\alpha - \sin\beta = \sqrt{10},\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$，则$\sin\alpha =$______，$\cos2\beta =$________.

答案： 答案 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ $\frac{4}{5}$
解析 $\because\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$，$\therefore\sin\beta=\cos\alpha$，即$3\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{10}$，即$\sqrt{10}(\frac{3\sqrt{10}}{10}\sin\alpha-\frac{\sqrt{10}}{10}\cos\alpha)=\sqrt{10}$，令$\sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\cos\theta=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则$\sqrt{10}\sin(\alpha - \theta)=\sqrt{10}$，$\therefore\alpha - \theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，即$\alpha=\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，$\therefore\sin\alpha=\sin(\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi)=\cos\theta=\frac{3\sqrt{10}}{10}(k\in\mathbf{Z})$，则$\cos2\beta=2\cos^{2}\beta - 1=2\sin^{2}\alpha - 1=\frac{4}{5}$。

17. (2024·山西高三月考)已知$\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha) = -3$，则$\cos2\alpha + 1=$（ ）
A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{3}{10}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{4}{7}$

答案： C [由$\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)=-3$，有$\frac{1 - \tan\alpha}{1 + \tan\alpha}=-3$，解得$\tan\alpha=-2$，则$\cos2\alpha + 1=2\cos^{2}\alpha=\frac{2\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{2}{\tan^{2}\alpha + 1}=\frac{2}{5}$。故选C。]