《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中 （ ）

A. AE//CD
B. CH//BE
C. DG⊥BH
D. BG⊥DE

答案：
BCD　[由正方体的平面展开图还原正方体如图.由图形可知,AE⊥CD,故A错误;因为HE//BC,HE = BC,所以四边形BCHE为平行四边形,所以CH//BE,故B正确;因为DG⊥HC,DG⊥BC,HC∩BC = C,所以DG⊥平面BHC,所以DG⊥BH,故C正确;连接AH,因为BG//AH,而DE⊥AH,所以BG⊥DE,故D正确.故选BCD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ]

8. 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）

答案：
答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)
解析　如图,连接AC,则AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC = A,所以BD⊥平面PAC,因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9.（2023·全国乙卷）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C - AB - D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 （ ）
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
D. $\frac{2}{5}$

答案： 9.C

10.（2022·全国乙卷）在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，BC的中点，则 （ ）
A. 平面B₁EF⊥平面BDD₁
B. 平面B₁EF⊥平面A₁BD
C. 平面B₁EF//平面A₁AC
D. 平面B₁EF//平面A₁C₁D

答案： 10.A　[对于A,在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,AC⊥BD且DD₁⊥平面ABCD,又EF⊂平面ABCD,所以EF⊥DD₁,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF//AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD₁ = D,所以EF⊥平面BDD₁,又EF⊂平面B₁EF,所以平面B₁EF⊥平面BDD₁,故A正确;对于B,平面A₁BD∩平面BDD₁ = BD,所以易知平面B₁EF⊥平面A₁BD不成立,故B错误;对于C,由题意知,直线AA₁与直线B₁E必相交,故平面B₁EF与平面A₁AC不平行,故C错误;对于D,连接AB₁,B₁C,易知平面AB₁C//平面A₁C₁D,又平面AB₁C与平面B₁EF有公共点B₁,所以平面AB₁C与平面B₁EF不平行,即平面A₁C₁D与平面B₁EF不平行,故D错误.故选A.]

11.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点. 则满足MN⊥OP的是 （ ）

答案： 11.BC

12.（2023·湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测）已知m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列说法错误的是 （ ）
A. 若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β
B. 若m与n异面，l⊥m，l⊥n，则存在α，使得l⊥α，m//α，n//α
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β = l，则l⊥γ
D. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n

答案：
12.D　[对于A,如图1,若m⊥α,m⊥β,则α//β,又n⊥α,所以n⊥β,故A正确;对于B,如图1,在l上取点Q,分别作m,n的平行线m',n',这两条相交直线确定平面α,因为m//m',m⊄α,m'⊂α,则m//α,同理可证n//α,因为l⊥m,l⊥n,m//m',n//n',所以l⊥m',l⊥n',又因为m'∩n' = Q,m',n'⊂α,所以l⊥α,故B正确;对于C,如图2,设α∩γ = a,β∩γ = b,在平面γ内任取一个不在直线a,b上的点P,过点P作直线PA⊥a,PB⊥b,垂足分别为点A,B.又因为PA⊂γ,PB⊂γ,α⊥γ,β⊥γ,
∴PA⊥α,PB⊥β,又l⊂α,l⊂β,故l⊥PA,l⊥PB,又因为PA∩PB = P,PA,PB⊂平面γ,从而l⊥γ,故C正确;对于D,直线m,n的位置关系可以是任意的,比如设α∩β = l,n⊂α且n//l,m⊂β,m//l,则根据平行的传递性知m//n,故D错误.故选D.
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