《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 已知互相垂直的平面α,β交于直线l，若直线m，n满足m//α，n⊥β，则 （ ）
A. m//l
B. m//n
C. n⊥l
D. m⊥n

答案： C　[由α⊥β,且α∩β = l,m//α,若m⊥β,那么m⊥l,故A错误;若m//α//l,且已知n⊥β,那么n⊥l,m⊥n,故B错误;因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确;若m//α,且m⊥l,那么m//n,故D错误.故选C.]

2. 已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α，β，且l⊥β，有下面四个命题：①若m⊥β，则l//m；②若α//β，则l⊥α；③若α⊥β，则l//α；④若l⊥m，则m//β. 其中真命题的序号是 （ ）
A. ①②
B. ②③
C. ②③④
D. ①④

答案： A　[对于①,由l⊥β,m⊥β,可得l//m,故①正确;对于②,若l⊥β,α//β,可得l⊥α,故②正确;对于③,若l⊥β,α⊥β,则有可能l⊂α,故③错误;对于④,当l⊥β,l⊥m时,则有可能m⊂β,故④错误.综上,真命题的序号是①②.故选A.]

3. 如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是 （ ）

A. CD⊥AB
B. BC⊥AD
C. BD⊥AB
D. BC⊥CD

答案： B　[当将△ACD绕AC边旋转到平面ADC⊥平面ABC时,因为CD⊥AC,平面ADC∩平面ABC = AC,所以CD⊥平面ABC,而AB,BC⊂平面ABC,则CD⊥AB,CD⊥BC,A,D不符合题意;由AB⊥CD,AB⊥BC,CD∩BC = C,得AB⊥平面BCD,又BD⊂平面BCD,所以AB⊥BD,C不符合题意;若BC⊥AD,而AB⊥BC,AB∩AD = A,故必有BC⊥平面ABD,又BD⊂平面ABD,所以BC⊥BD.而CD ＜ BC,故CD不是△BCD的最大边,即不可能成为直角三角形的斜边,所以BC⊥AD不可能成立.故选B.]

4. 如图所示，在三棱锥P - ABC中，PA⊥BC且PA = BC = 1，PB = AC = $\sqrt{2}$，PC = $\sqrt{3}$，则下列命题正确的个数是 （ ）

①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面ABC；③平面PAC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面ABC；⑥平面PAC⊥平面ABC.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： A　[因为PA = 1,PC = √3,AC = √2,则PA² + AC² = PC²,故PA⊥AC,又PA⊥BC,BC∩AC = C,BC,AC⊂平面ABC,则PA⊥平面ABC,又PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,故平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,故②⑥正确;因为AB⊂平面ABC,则PA⊥AB,又PA = 1,PB = √2,则AB = 1,又AC = √2,BC = 1,则AB² + BC² = AC²,故BC⊥AB,又BC⊥PA,PA∩AB = A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB,故①正确;易得③④⑤不正确.故选A.]

5. 在90°的二面角α - l - β内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA = PB = a，则P到l的距离为 （ ）
A. 2a
B. $\frac{a}{2}$
C. $\sqrt{2}a$
D. 2$\sqrt{a}$

答案：
C　[由PA⊥α,PB⊥β,l⊂α,l⊂β,则PA⊥l,PB⊥l,且PA∩PB = P,PA,PB⊂平面APB,故l⊥平面APB,记l∩平面APB = C,连接PC,PC⊂平面APB,故l⊥PC,所以P到l的距离为线段PC的长度,二面角α - l - β为90°,故BC = PA = PB,且∠PBC = 90°,故PC = √2PB = √2a.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
故选C.]

6.（多选）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC = 90°，AD : BC : AB = 2 : 3 : 4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则下列结论可能正确的是 （ ）

A. DF⊥BC
B. BD⊥FC
C. 平面BDF⊥平面BCF
D. 平面DCF⊥平面BCF

答案：
BC　[因为BC//AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,所以A不正确;设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥FC时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB = 2∶3∶4可使条件满足,所以B可能正确;当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C可能正确;因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D不正确.故选BC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ]