《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

18.(2023·湖南岳阳第一次模拟)(本小题满分17分)已知数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{1}=1$,且点$(a_{n},a_{n + 1}-2^{n})$在函数$f(x)=3x$的图象上.
(1)证明$\{\frac{a_{n}}{2^{n}}+1\}$是等比数列,并求$\{ a_{n}\} $的通项公式;
(2)若$b_{n}=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$,数列$\{ b_{n}\} $的前$n$项和为$S_{n}$,求证:$S_{n}＞3n+\frac{2}{3}$.

答案： 解
(1)由点$(a_{n},a_{n + 1}-2^{n})$在函数$f(x)=3x$的图象上，可得$a_{n + 1}=2^{n}+3a_{n}$，所以$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a_{n}}{2^{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}+1=\frac{3}{2}(\frac{a_{n}}{2^{n}}+1)$，又$a_{1}=1$，所以$\frac{a_{1}}{2^{1}}+1=\frac{3}{2}$，所以$\{\frac{a_{n}}{2^{n}}+1\}$是首项和公比均为$\frac{3}{2}$的等比数列，则$\frac{a_{n}}{2^{n}}+1=(\frac{3}{2})^{n}$，所以$a_{n}=3^{n}-2^{n}$.
(2)证明：$b_{n}=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{3^{n + 1}-2^{n + 1}}{3^{n}-2^{n}}=\frac{3\cdot(\frac{3}{2})^{n}-2}{(\frac{3}{2})^{n}-1}=3+\frac{1}{(\frac{3}{2})^{n}-1}＞3+(\frac{2}{3})^{n}$，所以$S_{n}＞3n+\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^{2}+\cdots+(\frac{2}{3})^{n}=3n+\frac{\frac{2}{3}(1-\frac{2^{n}}{3^{n}})}{1-\frac{2}{3}}=3n + 2-2\cdot(\frac{2}{3})^{n}\geqslant3n + 2-\frac{4}{3}=3n+\frac{2}{3}$，所以$S_{n}＞3n+\frac{2}{3}$.