《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

5. 建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为$S_{1},S_{2},\cdots,S_{n}$（单位：$m^{2}$），其相应的透射系数分别为$\tau_{1},\tau_{2},\cdots,\tau_{n}$，则组合墙的平均隔声量应由各部分的透射系数的平均值$\overline{\tau}$确定：$\overline{\tau}=\frac{S_{1}\tau_{1}+S_{2}\tau_{2}+\cdots+S_{n}\tau_{n}}{S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}}$，于是组合墙的平均隔声量（单位：dB）为$R = 10\lg\frac{1}{\overline{\tau}}$.已知某墙的透射系数为$\frac{1}{10^{4}}$，面积为20 $m^{2}$，在墙上有一门，其透射系数为$\frac{1}{10^{2}}$，面积为2 $m^{2}$，则组合墙的平均隔声量为（ ）
A. 10 dB
B. 20 dB
C. 30 dB
D. 40 dB

答案： C　[由题意知组合墙的透射系数的平均值$\tau=\frac{S_{1}\tau_{1}+S_{2}\tau_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{20×10^{-4}+2×10^{-2}}{20 + 2}=10^{-3}$，所以组合墙的平均隔声量$R = 10\lg\frac{1}{\tau}=10\lg\frac{1}{10^{-3}} = 30$dB. 故选C.]

6. 用32 $m^{2}$的材料制作一个长方体形的无盖盒子，如果底面的宽规定为2 m，那么这个盒子的最大容积是（ ）
A. 36 $m^{3}$
B. 18 $m^{3}$
C. 16 $m^{3}$
D. 14 $m^{3}$

答案：
C　[如图，设长方体形无盖盒子底面的长为$x(m)$，高为$h(m)$，容积为$V(m^{3})$，则表面积为$2x + 2xh+4h = 32$，$\therefore h=\frac{16 - x}{x + 2}(0\lt x\lt16)$，容积$V = 2xh=\frac{2x(16 - x)}{x + 2}=\frac{32x-2x^{2}}{x + 2}$. 令$t = x + 2(2\lt t\lt18)$，则$V=\frac{32(t - 2)-2(t - 2)^{2}}{t}=40-2(t+\frac{36}{t})\leq40-2×2\sqrt{t\cdot\frac{36}{t}} = 16$，当且仅当$t = 6$时取等号.]

7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p（单位：毫克/升）不断减少，已知p与时间t（单位：小时）满足$p(t)=p_{0}2^{-\frac{t}{30}}$，其中$p_{0}$为t = 0时的污染物数量.又测得当$t\in[0,30]$时，污染物数量的平均变化率是$-10\ln2$，则$p(60)=$（ ）
A. 150毫克/升
B. 300毫克/升
C. 150$\ln2$毫克/升
D. 300$\ln2$毫克/升

答案： C　[因为当$t\in[0,30]$时，污染物数量的平均变化率是$-10\ln2$，所以$-10\ln2=\frac{\frac{1}{2}p_{0}-p_{0}}{30 - 0}$，所以$p_{0}=600\ln2$，因为$p(t)=p_{0}2^{-\frac{t}{30}}$，所以$p(60)=600\ln2×2^{-2}=150\ln2$(毫克/升).]

8. 某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是（ ）
A. $y=\frac{1}{4}x$
B. $y=\lg x + 1$
C. $y=(\frac{3}{2})^{x}$
D. $y=\sqrt{x}$

答案： B [由题意知，$x\in[10,1000]$，符合公司要求的模型需同时满足：①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③$y\leq x\cdot25\%$. 对于$y=\frac{1}{4}x$，易知满足①，但当$x\gt20$时，$y\gt5$，不满足要求；对于$y = (\frac{3}{2})^{x}$，易知满足①，因为$(\frac{3}{2})^{4}\gt5$，故当$x\geq4$时，不满足要求；对于$y=\sqrt{x}$，易知满足①，但当$x\gt25$时，$y\gt5$，不满足要求；对于$y=\lg x + 1$，易知满足①，当$x\in[10,1000]$时，$2\leq y\leq4$，满足②，再证明$\lg x + 1\leq x\cdot25\%$，即$4\lg x + 4 - x\leq0$，设$F(x)=4\lg x + 4 - x$，则$F'(x)=\frac{4}{x\ln10}-1\lt0$，$x\in[10,1000]$，所以$F(x)$为减函数，$F(x)_{\max}=F(10)=4\lg10 + 4 - 10=-2\lt0$，满足③. 故选B.]

9.（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少$\frac{1}{3}$，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：$\lg2\approx0.301,\lg3\approx0.477$）（ ）
A. 6
B. 9
C. 8
D. 7

答案： BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求，则$\frac{2}{100}×(\frac{2}{3})^{n}\leq\frac{1}{1000}$，即$(\frac{2}{3})^{n}\leq\frac{1}{20}$，由$n\lg\frac{2}{3}\leq-\lg20$，即$n(\lg2-\lg3)\leq-(1 + \lg2)$，得$n\geq\frac{1+\lg2}{\lg3-\lg2}\approx7.4$.]