《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1.(2024·辽宁名校联盟开学联考)已知$z = \frac{2 - 2i}{(1 + i)^2}$，则$\overline{z}=$( )
A.1 + i
B.1 - i
C.-1 + i
D.-1 - i

答案： 1.C [z = $\frac{2 - 2i}{(1 + i)^2}$ = $\frac{2 - 2i}{2i}$ = -1 - i,所以$\overline{z}$ = -1 + i. 故选 C.]

2.(2023·辽宁沈阳高三年级质量监测)已知i是虚数单位，则复数$z = \frac{2 - i^{2022}}{2 + i^{2023}}$在复平面内对应的点所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.A [z = $\frac{2 - i^{2022}}{2 + i^{2023}}$ = $\frac{3}{2 - i}$ = $\frac{6 + 3i}{5}$,复数 z 在复平面内对应的点在第一象限. 故选 A.]

3.(2024·湖南永州高三一模)已知向量$\boldsymbol{a}=(-1,2)$，$\boldsymbol{b}=(3,-1)$，$\boldsymbol{c}=(x,1)$，且$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{c}$，则$x=$( )
A.2
B.1
C.0
D.-1

答案： 3.C [a + 2b = (-1,2) + (6,-2) = (5,0),由于(a + 2b)⊥c,所以(a + 2b)·c = 5x = 0,x = 0. 故选 C.]

4.若复数$z=(7 - ai)(1 + i)$为纯虚数，则实数$a=$( )
A.-7
B.-5
C.7
D.5

答案： 4.A [
∵z = (7 - ai)(1 + i) = 7 + 7i - ai - ai² = 7 + a + (7 - a)i,又复数 z 为纯虚数,
∴$\begin{cases}7 + a = 0\\7 - a\neq0\end{cases}$,解得 a = -7. 故选 A.]

5.已知点P是$\triangle ABC$所在平面内一点，且$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\boldsymbol{0}$，则$\overrightarrow{PA}=$( )
A.$-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$
B.$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
C.$-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$
D.$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

答案： 5.D [由题意,得$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=0$,
∴$\overrightarrow{PA}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}) = 0$,
∴$\overrightarrow{PA}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AP}) = 0$,
∴3$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=0$,
∴3$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$,
∴$\overrightarrow{PA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. 故选 D.]

6.(2023·山东泰安肥城模拟)已知平面四边形ABCD满足$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，平面内点E满足$\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{CE}$，$CD$与$AE$交于点M，若$\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，则$x + y=$( )
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{5}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$-\frac{4}{3}$

答案：
6.C [易知 BC = 4AD,CE = 2AD,AD//CE,所以△ADM∽△ECM,所以$\frac{AM}{EM}=\frac{AD}{EC}=\frac{1}{2}$ ,所以$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$,所以$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE})-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$,所以 x = -$\frac{2}{3}$,y = 2,x + y = -$\frac{2}{3}$+2 = $\frac{4}{3}$. 故选 C.]

7.(2023·江苏南京江宁高级中学质检)已知单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，若向量$\boldsymbol{c}=\sqrt{7}\boldsymbol{a}+\sqrt{2}\boldsymbol{b}$，则$\sin\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=$( )
A.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{9}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{9}$

答案： 7.B [因为 a,b 是单位向量,所以|a| = |b| = 1. 因为 c = $\sqrt{7}a+\sqrt{2}b$,所以|c| = |$\sqrt{7}a+\sqrt{2}b$| = $\sqrt{(\sqrt{7}a+\sqrt{2}b)^2}=\sqrt{7|a|^2 + 2|b|^2}=3$,所以 cos〈a,c〉 = $\frac{a·c}{|a||c|}=\frac{a·(\sqrt{7}a+\sqrt{2}b)}{|a||c|}=\frac{\sqrt{7}|a|^2+\sqrt{2}a·b}{|a||c|}=\frac{\sqrt{7}}{3}$,所以 sin〈a,c〉 = $\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{7}}{3})^2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$. 故选 B.]