《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

19. (2024·湖南长沙周南中学高三开学考试)设互不相等的三个实数$a$，$b$，$c$满足$b + c = 6 - 4a + 3a^{2}$，$c - b = 4 - 4a + a^{2}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是 （ ）
A. $b＞a＞c$
B. $b＞c＞a$
C. $c＞a＞b$
D. $c＞b＞a$

答案： 由b + c＝6 - 4a + 3a²，c - b＝4 - 4a + a²，得b＝1 + a²，于是b - a＝1 - a + a²＝(a - 1/2)² + 3/4＞0，即b＞a，而c - b＝(2 - a)²≥0，且三个实数a，b，c互不相等，因此c＞b，所以a，b，c的大小关系是c＞b＞a．故选D.

20. (2023·河北石家庄二中模拟)已知$a＞b＞c＞1$，定义$M$，$N$，$P$分别为$M = a-\sqrt{c}$，$N = a-\sqrt{b}$，$P = 2(\frac{a + b}{2}-\sqrt{ab})$，则下列叙述正确的是 （ ）
A. $M＞N＞P$
B. $M＜N＜P$
C. $N＞M＞P$
D. $N＜M＜P$

答案： 因为a＞b＞c＞1，所以－√c＞－√b，则a - √c＞a - √b，即M＞N，又N - P＝2√ab - √b - b＝√b(2√a - 1 - √b)＝√b[(√a - 1) + (√a - √b)]＞0，即N＞P，所以M＞N＞P．

21. (2024·四川成都石室中学高三开学考试)已知实数$x$，$y$满足$a^{x}＜a^{y}(0＜a＜1)$，则下列关系式恒成立的是 （ ）
A. $\frac{1}{x^{2}+1}＞\frac{1}{y^{2}+1}$
B. $\ln(x^{2}+1)＞\ln(y^{2}+1)$
C. $\sin x＞\sin y$
D. $x^{3}＞y^{3}$

答案： 由aˣ＜aʸ(0＜a＜1)得x＞y．对于A，1/(x² + 1)＞1/(y² + 1)⇔y²＞x²⇔|y|＞|x|，不恒成立，A错误；对于B，ln(x² + 1)＞ln(y² + 1)⇔x²＞y²⇔|x|＞|y|，不恒成立，B错误；对于C，三角函数有周期性，不恒成立，C错误；对于D，x³＞y³⇔x＞y，D正确．故选D.

22. (多选)(2023·福建三明模拟)设$a＜b＜c$，且$a + b + c = 0$，则 （ ）
A. $ab＜b^{2}$ B. $ac＜bc$ C. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{c}$ D. $\frac{c - a}{c - b}＜1$

答案： 因为a＜b＜c，a + b + c＝0，所以a＜0＜c，b的符号不能确定．当b＝0时，ab＝b²，故A错误；因为a＜b，c＞0，所以ac＜bc，故B正确；因为a＜0＜c，所以1/a＜1/c，故C正确；因为a＜b，所以－a＞－b，所以c - a＞c - b＞0，所以(c - a)/(c - b)＞1，故D错误．

23. (多选)(2024·浙江台州温岭中学开学测试)已知$a$，$b$，$c\in\mathbf{R}$，则下列命题为真命题的是 （ ）
A. 若$bc^{2}＜ac^{2}$，则$b＜a$
B. 若$a^{3}＞b^{3}$且$ab＜0$，则$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
C. 若$a＞b＞c＞0$，则$\frac{a}{b}＞\frac{a + c}{b + c}$
D. 若$c＞b＞a＞0$，则$\frac{a}{c - a}＞\frac{b}{c - b}$

答案： 对于A，若bc²＜ac²成立，则c≠0，所以c²＞0，故A正确；对于B，由a³＞b³得a＞b，又因为ab＜0，所以a＞0＞b，所以1/a＞0＞1/b，故B正确；对于C，因为a＞b＞c＞0，所以ac＞bc，所以ac + ab＞bc + ab，因为1/(b(b + c))＞0，所以两边同乘1/(b(b + c))得a/b＞(a + c)/(b + c)，故C正确；对于D，因为a - b＜0，c - a＞0，c - b＞0，所以a/(c - a) - b/(c - b)＝c(a - b)/((c - a)(c - b))＜0，即a/(c - a)＜b/(c - b)，故D不正确．故选ABC.

24. (多选)(2024·山东济南高三摸底考试)已知非零实数$a$，$b$满足$|a|＞|b| + 1$，则下列不等关系一定成立的是 （ ）
A. $a＞b + 1$ B. $\ln a^{2}＞\ln(b^{2}+1)$
C. $a^{2}＞4b$ D. $|\frac{a}{b}|＞1$

答案： 对于A，|－5|＞|2| + 1，而－5＜2 + 1，故A错误；对于B，
∵|a|＞|b| + 1，
∴|a|²＞(|b| + 1)²，即a²＞b² + 2|b| + 1＞b² + 1，
∴a²＞b² + 1＞0，又函数y＝ln x在(0，+∞)上单调递增，
∴ln a²＞ln(b² + 1)，故B正确；对于C，由B项分析得，a²＞b² + 2|b| + 1，
∴a² - 4b＞b² + 2|b| + 1 - 4b，
∵|b|≥b，
∴a² - 4b＞b² + 2|b| + 1 - 4b≥b² - 2b + 1＝(b - 1)²≥0，
∴a²＞4b，故C正确；对于D，|a/b|＝|a|/|b|＞(|b| + 1)/|b|＝1 + 1/|b|＞1，故D正确．故选BCD.

25. (2023·福建漳州模拟)已知$f(x)=ax^{2}+bx$，$1\leq f(-1)\leq2$，$2\leq f(1)\leq4$，则$f(-2)$的取值范围为________.

答案： 答案 [5，10]
解析 设f(－2)＝mf(－1) + nf
(1)(m，n为待定系数)，则4a - 2b＝m(a - b) + n(a + b)，即4a - 2b＝(m + n)a + (n - m)b，则{m + n＝4，n - m＝－2}，解得{m＝3，n＝1}，
∴f(－2)＝3f(－1) + f
(1)，又1≤f(－1)≤2，2≤f
(1)≤4，
∴5≤3f(－1) + f
(1)≤10，故5≤f(－2)≤10．