《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 如图，在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=$（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $\boldsymbol{0}$
B. $\overrightarrow{BE}$
C. $\overrightarrow{AD}$
D. $\overrightarrow{CF}$

答案： D [由题图知$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CF}$.]

2. 已知向量$\boldsymbol{a}=(2m,1)$，$\boldsymbol{b}=(-3,1)$，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则实数$m =$（ ）
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $-\frac{3}{2}$

答案： 因为$\boldsymbol{a}=(2m,1)$，$\boldsymbol{b}=(-3,1)$，$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，所以$2m\times1 = 1\times(-3)$，解得$m = -\frac{3}{2}$. 故选D.

3. 已知向量$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是平面内的一组基底，若向量$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}$与$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}$共线，则$\lambda$的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. $\frac{4}{3}$
D. $-\frac{4}{3}$

答案： 因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，所以存在$\mu\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{a}=\mu\boldsymbol{b}$，即$2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}=\mu(\lambda\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2})$，故$\begin{cases}2 = \mu\lambda\\3 = -2\mu\end{cases}$，解得$\begin{cases}\mu = -\frac{3}{2}\\\lambda = -\frac{4}{3}\end{cases}$.

4. 已知向量$\boldsymbol{a}=(m,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,m)$，若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反，则$|\boldsymbol{a}-\sqrt{3}\boldsymbol{b}| =$（ ）
A. 54
B. 48
C. $3\sqrt{6}$
D. $4\sqrt{3}$

答案： 因为向量$\boldsymbol{a}=(m,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,m)$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反，所以$\begin{cases}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4m\lt0\\m^{2}-3 = 0\end{cases}$，解得$m = -\sqrt{3}$. 所以$\boldsymbol{a}-\sqrt{3}\boldsymbol{b}=(-\sqrt{3},3)-(\sqrt{3},-3)=(-2\sqrt{3},6)$，$|\boldsymbol{a}-\sqrt{3}\boldsymbol{b}|=\sqrt{12 + 36}=4\sqrt{3}$. 故选D.

5. 在$\angle A = 90^{\circ}$的等腰直角三角形$ABC$中，$E$为$AB$的中点，$F$为$BC$的中点，$\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{AF}+\mu\overrightarrow{CE}$，则$\lambda =$（ ）
A. $-\frac{2}{3}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $-\frac{4}{3}$
D. -1

答案： 以$A$为原点建立平面直角坐标系，设$AB = 2$，则$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(0,2)$，$F(1,1)$，$E(1,0)$，所以$\overrightarrow{BC}=(-2,2)$，$\overrightarrow{AF}=(1,1)$，$\overrightarrow{CE}=(1,-2)$，$\lambda\overrightarrow{AF}+\mu\overrightarrow{CE}=\lambda(1,1)+\mu(1,-2)=(\lambda+\mu,\lambda - 2\mu)$，所以$\begin{cases}\lambda+\mu = -2\\\lambda - 2\mu = 2\end{cases}$，所以$\lambda = -\frac{2}{3}$. 故选A.