《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

18. (2023·吉林长春高三模拟)(本小题满分17分)已知函数$f(x)=\frac{e^{bx}}{ax}$在$x = 2$处取到极值$\frac{e}{2}$.
(1)求函数$f(x)$的单调区间；
(2)若不等式$x^{2}f(x)\geqslant kx+\ln x + 1$在$x\in(0,+\infty)$上恒成立，求实数$k$的取值范围.

答案： 18.解
(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f'(x)=((abx - a)e^(bx))/(ax)^2，由f'
(2)=((2ab - a)e^(2b))/(2a)^2 = 0，a≠0，得b = 1/2，由f
(2)=e^(2b)/2a=e/2a=e/2，得a = 1，所以f'(x)=((x/2 - 1)e^(x/2))/x^2，又x≠0，由f'(x)＞0，得x＞2；由f'(x)＜0，得x＜0或0＜x＜2.故函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，(0，2)，单调递增区间是(2，+∞).
(2)由
(1)知，f(x)=e^(x/2)/x，则不等式x^2f(x)≥kx + ln x + 1在x∈(0，+∞)上恒成立等价于e^(x/2)-(ln x + 1)/x≥k在x∈(0，+∞)上恒成立，令g(x)=e^(x/2)-(ln x + 1)/x(x＞0)，则只需k≤g(x)_(min)即可.g'(x)=(1/2x^2e^(x/2)+ln x)/x^2，令h(x)=1/2x^2e^(x/2)+ln x(x＞0)，则h'(x)=(x + 1/4x^2)e^(x/2)+1/x＞0.所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，又h(1/2)=4√e/8 - ln 2＜0，h
(1)=√e/2＞0，所以存在唯一的x_0∈(1/2，1)，使得h(x_0)=0，则g(x)在(0，x_0)上单调递减，在(x_0，+∞)上单调递增.因为x_0^2/2e^(x_0/2)+ln x_0 = 0，所以x_0^2/2e^(x_0/2)= - ln x_0，两边同时取自然对数，则有x_0/2+ln x_0/2+ln x_0=ln(-ln x_0)，即x_0/2+ln x_0/2= - ln x_0+ln(-ln x_0).构造函数m(x)=x + ln x(x＞0)，则m'(x)=1 + 1/x＞0，所以函数m(x)在(0，+∞)上单调递增，又m(x_0/2)=m(-ln x_0)，所以x_0/2= - ln x_0，即e^(x_0/2)=1/x_0.所以g(x)_(min)=g(x_0)=e^(x_0/2)-(ln x_0 + 1)/x_0=1/x_0-(-x_0/2 + 1)/x_0=1/2，于是实数k的取值范围是(-∞，1/2].

19. (2023·山东济南高三模拟)(本小题满分17分)已知函数$f(x)=x\ln x-ax^{2}-x,g(x)=\frac{f(x)}{x},a\in\mathbf{R}$.
(1)讨论$g(x)$的单调性；
(2)设$f(x)$有两个极值点$x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$，证明：$x_{1}^{4}x_{2}＞e^{3}$. ($e = 2.71828\cdots$为自然对数的底数)

答案： 19.解
(1)g(x)=f(x)/x=ln x - ax - 1，g'(x)=1/x - a，①当a≤0时，g'(x)＞0，g(x)在(0，+∞)上单调递增；②当a＞0时，令g'(x)=0，解得x = 1/a，当x∈(0，1/a)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，当x∈(1/a，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减.综上，当a≤0时，g(x)在(0，+∞)上单调递增；当a＞0时，g(x)在(0，1/a)上单调递增，在(1/a，+∞)上单调递减.
(2)证明：由题意知，f'(x)=ln x - 2ax，x_1，x_2是f'(x)=0的两根，即ln x_1 - 2ax_1 = 0，ln x_2 - 2ax_2 = 0，得2a=(ln x_1 - ln x_2)/(x_1 - x_2)，(*)要证x_1^4x_2＞e^3，即证4ln x_1+ln x_2＞3，即证4·2ax_1+2ax_2＞3，把(*)式代入得(ln x_1 - ln x_2)/(x_1 - x_2)(4x_1 + x_2)＞3(x_1＜x_2)，所以应证ln(x_1/x_2)＜(3(x_1 - x_2))/(4x_1 + x_2)=(3((x_1/x_2)-1))/(4·(x_1/x_2)+1)，令t = x_1/x_2，0＜t＜1，即证h(t)=ln t-(3(t - 1))/(4t + 1)＜0(0＜t＜1)成立，而h'(t)=1/t-
(15)/((4t + 1)^2)=(16t^2 - 7t + 1)/(t(4t + 1)^2)=(16(t - 7/32)^2+15/64)/(t(4t + 1)^2)＞0，所以h(t)在(0，1)上单调递增，所以h(t)＜ln 1-(3×(1 - 1))/(4×1 + 1)=0，所以命题得证.