《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

4.（2024·广西南宁第三十六中高三月考）如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$底面$ABCD$，$AB// CD$，$AD = CD = AP = 2$，$AB = 1$，$AC = 2\sqrt{2}$.
(1)试在棱$PC$上找一点$E$满足$BE\perp DC$；
(2)若$F$为棱$PC$上一点，满足$BF\perp AC$，求二面角$F - AB - P$的余弦值.

答案：
解　
(1)
∵AD=CD=2,AC=2√2,AB//CD,AD²+CD²=AC²,
∴AD⊥CD,AD⊥AB.
　如图，以A为原点，AB,AD,AP所在
　直线分别为x,y,轴建立空间直角
　坐标系，
　可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
　　　　　　　　　　　　　　　 P(0,0,2),
　设E为棱PC上的点,且E(x,y,z).
　PE=(x,y,x−2),PC=(2,2,−2),
　且PC=mPE,
∴mx=2,my=2,m(x−2)=−2,
∴E($\frac{2}{m}$,$\frac{2}{m}$,2−$\frac{2}{772}$
∴BE−($\frac{2}{m}$−1,$\frac{2}{m}$,2−$\frac{2}{m}$DC=(2,0,0),
　若BE⊥CD,故BE.DC=0.,
∴2($\frac{2}{m}$−1)=0,
∴m=2,
　即E(1,1,1).
∴E为棱PC的中点
　

5.（2024·福建龙岩上杭县第一中学高三月考）如图，矩形$BCDE$所在平面与$\triangle ABC$所在平面垂直，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BE = 2$.
(1)证明：$DE\perp$平面$ACD$；
(2)若平面$ADE$与平面$ABC$夹角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且直线$AE$与平面$BCDE$所成角的正弦值是$\frac{1}{4}$，求异面直线$DE$与$AB$所成角的余弦值.

答案：