《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7.（2023·河北邯郸第三次模拟）已知抛物线C：$x^{2}=4y$的焦点为F，准线为l. 设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.
　(1)求证：点P是线段MN的中点；
　(2)若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.

答案： 解 （1）证明：由题意知，直线$m$的斜率存在且不为$0$，故设直线$m$的方程为$y = kx + 1(k\neq0)$，代入$x^{2}=4y$，并整理得$x^{2}-4kx - 4 = 0$.
所以$\Delta=16k^{2}+16＞0$，
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，
则$x_{1}+x_{2}=4k$，$x_{1}x_{2}=-4$.
设$M(x_{0},y_{0})$，则$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2k$，$y_{0}=kx_{0}+1=2k^{2}+1$，
即$M(2k,2k^{2}+1)$.
由$MN\perp l$，得$N(2k,-1)$，
所以$MN$的中点坐标为$(2k,k^{2})$.
将$x = 2k$代入$x^{2}=4y$，
解得$y = k^{2}$，则$P(2k,k^{2})$，
所以点$P$是线段$MN$的中点.
（2）由$x^{2}=4y$，得$y=\frac{x^{2}}{4}$，则$y'=\frac{x}{2}$，
所以抛物线$C$在点$P(2k,k^{2})$处的切线$PQ$的斜率为$k$，
又由直线$m$的斜率为$k$，可得$m// PQ$；
又$MN// y$轴，所以四边形$MPQF$为平行四边形.
而$|MF|=\sqrt{(2k)^{2}+(2k^{2}+1 - 1)^{2}}=2\sqrt{k^{2}(k^{2}+1)}$，
$|MP|=|(2k^{2}+1)-k^{2}|=k^{2}+1$，
由$|MF| = |MP|$，得$2\sqrt{k^{2}(k^{2}+1)}=k^{2}+1$，
解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，即当$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$时，四边形$MPQF$为菱形，
且此时$|PF|=\sqrt{(2k - 0)^{2}+(k^{2}-1)^{2}}=k^{2}+1=|MP| = |MF|$，
所以$\angle PMF = 60^{\circ}$，
直线$m$的方程为$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$，
即$x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0$或$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$，
所以存在直线$m$，使得四边形$MPQF$是有一个内角为$60^{\circ}$的菱形，直线$m$的方程为$x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0$或$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$.