《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

19.(本小题满分17分)如图,四边形ABCD为梯形,AD//BC,BM⊥AD于M,CN⊥AD于N,∠A = 45°,AD = 4BC = 4,AB = $\sqrt{2}$,现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形,过BM的平面与线段DN,DC分别交于E,F.

(1)求证:EF⊥DA;
(2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E,使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$? 若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.

答案：
解
(1)证明：$\because BM\perp AD$，$CN\perp AD$， $\therefore BM\parallel CN$，
在四棱锥$D - ABCN$中，$CN\subset$平面$CDN$，$BM\not\subset$平面$CDN$，$\therefore BM\parallel$平面$CDN$，
又$BM\subset$平面$BMEF$，平面$BMEF\cap$平面$CDN = EF$， $\therefore BM\parallel EF$，$\therefore EF\parallel CN$。 $\because CN\perp DN$，$CN\perp AN$，$DN\cap AN = N$，$DN$，$AN\subset$平面$ADN$， $\therefore CN\perp平面ADN$，$\therefore EF\perp$平面$ADN$，
又$DA\subset$平面$ADN$，$\therefore EF\perp DA$。
(2)存在，$E$为棱$DN$上靠近$N$的四等分点。
$\because DA = DN$，$AM = MN = 1$，连接$DM$， $\therefore DM\perp AN$， $\because CN\perp$平面$ADN$，$CN\subset$平面$ABCN$， $\therefore$平面$ADN\perp$平面$ABCN$，
又平面$ADN\cap$平面$ABCN = AN$，$DM\subset$平面$ADN$， $\therefore DM\perp$平面$ABCN$。
如图，以$M$为坐标原点，$MA$，$MB$，$MD$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系， 
则$D(0,0,\sqrt{3})$，$B(0,1,0)$，$M(0,0,0)$，$N(-1,0,0)$，$\overrightarrow{DB}=(0,1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BM}=(0,-1,0)$，$\overrightarrow{ND}=(1,0,\sqrt{3})$，
设$\overrightarrow{NE}=\lambda\overrightarrow{ND}(0\lt\lambda\lt1)$，
则$E(\lambda - 1,0,\sqrt{3}\lambda)$，$\overrightarrow{ME}=(\lambda - 1,0,\sqrt{3}\lambda)$，
设平面$BMEF$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BM}=-y = 0,\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{ME}=(\lambda - 1)x+\sqrt{3}\lambda z = 0,\end{cases}$
不妨令$x=\sqrt{3}\lambda$， 则$z = 1-\lambda$，$\boldsymbol{n}=(\sqrt{3}\lambda,0,1-\lambda)$，
设直线$DB$与平面$BMEF$所成的角为$\alpha$，则有$\sin\alpha=|\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{DB}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{DB}|}=\frac{|\sqrt{3}(\lambda - 1)|}{2\sqrt{3\lambda^{2}+(1-\lambda)^{2}}}=\frac{3}{4}$， 解得$\lambda=\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{2}$（舍去）。$\therefore\overrightarrow{NE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ND}$，
即在棱$DN$上存在点$E$，使得直线$DB$与平面$BMEF$所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$，$E$为棱$DN$上靠近$N$的四等分点。