《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

13.(2023·山东济宁高三模拟)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为 （ ）
A.$\frac{2}{5}$　　　　
　B.$\frac{3}{10}$　　　　　
　C.$\frac{1}{5}$　　　　　
　D.$\frac{1}{10}$

答案： 13.C　[由题意，可得不超过2次就按对的概率为P=$\frac{1}{10}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{5}$。故选C。]

14.(2024·福建宁德高三第一次考试)某地区居民的肝癌发病率为0.1％，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的。已知患有肝癌的人其化验结果99.9％呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1％呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是 （ ）
A.0.999　　　
　B.0.9　　　　
　C.0.5　　　　
　D.0.1

答案： 14.C　[记事件A：“某人患肝癌”，事件B：“化验结果呈阳性”，由题意可知P(A)=$\frac{1}{1000}$，P(B|A)=$\frac{999}{1000}$，P(B|$\overline{A}$)=$\frac{1}{1000}$，所以P(B)=P(A)P(B|A)+P($\overline{A}$)P(B|$\overline{A}$)=$\frac{999}{10^{6}}$×2=$\frac{999}{5×10^{5}}$，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是P(A|B)=$\frac{P(AB)}{P(B)}$=$\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$=$\frac{\frac{999}{10^{6}}}{\frac{999}{5×10^{5}}}$=$\frac{1}{2}$。故选C。]

15.(多选)(2024·广东佛山南海区高三摸底)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{2}{3}$，$P(A\cup\overline{B})=\frac{3}{4}$，则（ ）
A.$P(AB)=\frac{1}{3}$　　　　　　　　
　B.$P(\overline{A}\overline{B})=\frac{1}{4}$
C.$P(\overline{B}|A)=\frac{1}{6}$　　　　　　　
　D.$P(\overline{A}|B)=\frac{1}{2}$

答案： 15.BC　[由P(B)=$\frac{2}{3}$，可得P($\overline{B}$)=1 - $\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，又由P(A$\cup$B)=P(A)+P(B)-P(AB)=$\frac{3}{4}$，可得P(AB)=$\frac{1}{12}$，由P(AB)+P(A$\overline{B}$)=P(A)，可得P(A$\overline{B}$)=$\frac{5}{12}$，所以A错误；由P($\overline{A}$$\overline{B}$)+P(A$\overline{B}$)=P($\overline{B}$)，可得P($\overline{A}$$\overline{B}$)=$\frac{1}{4}$，所以B正确；由条件概率公式可得，P($\overline{B}$|A)=$\frac{P(A\overline{B})}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{6}$，所以C正确；又由P(AB)+P($\overline{A}$B)=P(B)，可得P($\overline{A}$B)=$\frac{1}{4}$，则P($\overline{A}$|B)=$\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{8}$，所以D错误。故选BC。]

16.(多选)(2023·江西九校高三上学期联考)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球、2个白球、3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以$A_1$，$A_2$，$A_3$表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则 （ ）
A.B与$A_1$相互独立　　　　　
　B.$A_1$，$A_2$，$A_3$两两互斥
C.$P(B|A_2)=\frac{2}{5}$　　　　　　　
　D.$P(B)=\frac{1}{2}$

答案： 16.BC　[事件$A_{1}$的发生对事件B的发生有影响，因此事件$A_{1}$与事件B不独立，A错误；$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；P(B|$A_{2}$)=$\frac{P(BA_{2})}{P(A_{2})}$=$\frac{\frac{2}{9}×\frac{4}{10}}{\frac{2}{9}}$=$\frac{2}{5}$，C正确；P(B)=P($BA_{1}$)+P($BA_{2}$)+P($BA_{3}$)=$\frac{4}{9}$×$\frac{5}{10}$+$\frac{2}{9}$×$\frac{4}{10}$+$\frac{3}{9}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{4}{9}$，D错误。故选BC。]

17.(多选)(2024·广东深圳中学高三上学期开学摸底)现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A=“甲参加跳高比赛”，事件B=“乙参加跳高比赛”，事件C=“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A.事件A与B相互独立　　　
　B.事件A与C为互斥事件
C.$P(C|A)=\frac{5}{12}$　　　　　　　
　D.$P(B|A)=\frac{1}{6}$

答案： 17.CD　[对于A，每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，则有$\frac{C_{3}^{2}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}$·$A_{3}^{3}$=36种不同的安排方法，事件A = “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有$A_{3}^{3}$=6种方法；若跳高比赛安排1人，则有$C_{2}^{1}C_{1}^{1}A_{2}^{2}$=6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6 + 6 = 12种，则P(A)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$，同理P(B)=$\frac{1}{3}$，若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则有$A_{2}^{2}$=2种不同的安排方法，所以P(AB)=$\frac{2}{36}$=$\frac{1}{18}$，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与B不相互独立，故A错误；对于B，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有1 + $C_{2}^{1}C_{1}^{1}$=5种，所以P(AC)=$\frac{5}{36}$，所以P(C|A)=$\frac{P(AC)}{P(A)}$=$\frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{5}{12}$，故C正确；对于D，P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{6}$，故D正确。故选CD。]