《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 已知幂函数$y=(m^{2}-3)x^{m^{2}+m - 3}$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$m=$（ ）
A. -2
B. 2
C. $-\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}$

答案： B [由题意，得$\begin{cases}m^{2}-3 = 1,\\m^{2}+m - 3＞0,\end{cases}$解得$m = 2$. 故选B.]

3. 设$a = (\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}},b = (\frac{5}{4})^{\frac{1}{5}},c = (\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}}$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A. $c ＜ a ＜ b$
B. $c ＜ b ＜ a$
C. $a ＜ c ＜ b$
D. $b ＜ c ＜ a$

答案： 3.A [因为$a = (\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}} = (\frac{16}{25})^{\frac{1}{4}}＜1$，$b = (\frac{5}{4})^{\frac{1}{2}}＞1$，$c = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{2}} = (\frac{27}{64})^{\frac{1}{4}}＜1$，又$0＜\frac{27}{64}＜\frac{1}{2}＜\frac{16}{25}＜1$，$y = x^{\frac{1}{4}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$c = (\frac{27}{64})^{\frac{1}{4}}＜(\frac{16}{25})^{\frac{1}{4}} = a$. 综上可得，$c＜a＜b$. 故选A.]

4. 已知幂函数$y = x^{\frac{p}{q}}(p,q\in\mathbf{Z}$且$p,q$互质）的图象关于$y$轴对称，如图所示，则（ ）

A. $p,q$均为奇数，且$\frac{p}{q}＞0$
B. $q$为偶数，$p$为奇数，且$\frac{p}{q}＜0$
C. $q$为奇数，$p$为偶数，且$\frac{p}{q}＞0$
D. $q$为奇数，$p$为偶数，且$\frac{p}{q}＜0$

答案： 4.D [因为函数$y = x^{\frac{p}{q}}$的图象关于$y$轴对称，于是得函数$y = x^{\frac{p}{q}}$为偶函数，即$p$为偶数，又函数$y = x^{\frac{p}{q}}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且在$(0,+\infty)$上单调递减，则有$\frac{p}{q}＜0$，又$p,q$互质，则$q$为奇数. 故选D.]

5. 函数$y = \ln\sqrt{x^{2}+ax + 1}$的值域为$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$
B. $[-1,0)\cup(0,+\infty)$
C. $(-\infty,-1)$
D. $[-1,1)$

答案： 5.A [由函数$y = \ln\sqrt{x^{2}+ax + 1}$的值域为$\mathbf{R}$，可得真数部分$y=\sqrt{x^{2}+ax + 1}$取到所有的正数，即函数$y = x^{2}+ax + 1$取到所有的正数，所以$(0,+\infty)$是函数$y = x^{2}+ax + 1$的值域的子集，所以$\Delta=a^{2}-4\geqslant0$，解得$a\leqslant - 2$或$a\geqslant2$，所以实数$a$的取值范围是$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$.]

6. 若二次函数$y = kx^{2}-4x + 2$在区间$[1,2]$上单调递增，则实数$k$的取值范围为（ ）
A. $[2,+\infty)$
B. $(2,+\infty)$
C. $(-\infty,0)$
D. $(-\infty,2)$

答案： 6.A [二次函数$y = kx^{2}-4x + 2$的图象的对称轴为直线$x = \frac{2}{k}$，当$k＞0$时，要使$y = kx^{2}-4x + 2$在区间$[1,2]$上是增函数，只需$\frac{2}{k}\leqslant1$，解得$k\geqslant2$. 当$k＜0$时，$\frac{2}{k}＜0$，此时二次函数图象的对称轴在区间$[1,2]$的左侧，该函数$y = kx^{2}-4x + 2$在区间$[1,2]$上单调递减，不符合要求. 综上可得，实数$k$的取值范围是$[2,+\infty)$.]