《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

9.（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周. 则 （ ）
A. 某学生从中选3门，共有30种选法
B. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

答案： 9.CD　[6门中选3门共有C₆³ = 20种选法，故A错误;课程“射”“御”排在不相邻两周,共有A₄⁴A₅² = 480种排法,故B错误;课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有A₃³A₄⁴ = 144种排法,故C正确;课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周,共有A₅⁵ + C₄¹C₄¹A₄⁴ = 504种排法,故D正确.故选CD.]

10. 一个六位数的密码，第1位的数字为8，其余5个位置，每个数字都小于3，并且5个数字之和小于等于3，则满足条件的密码个数为________.

答案： 10.答案　51
　解析　其余5个数在0,1,2三个数中任取一个,要5个数字之和小于等于3,则有以下情况:五个0;四个0,一个1或2;三个0,两个1或一个1一个2;两个0,三个1.所以满足条件的密码个数为1 + 2C₅¹ + C₅² + A₅² + C₅³ = 51.

11. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）.

答案： 11.答案　1260
　解析　若不取零，则四位数的个数为C₅²C₃²A₄⁴;若取零，则四位数的个数为C₅²C₃¹C₃¹A₃³.因此一共可以组成C₅²C₃²A₄⁴ + C₅²C₃¹C₃¹A₃³ = 1260个没有重复数字的四位数.

12. 把分别写有1，2，3，4，5的5张卡片全部分给甲、乙、丙3个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为________（用数字作答）.

答案： 12.答案　36
　解析　先将卡片分为符合条件的3份，由题意，得3人分5张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这5个数用2个挡板隔开，在4个空位插2个挡板，共有C₄² = 6种情况，再对应到3个人，有A₃³ = 6种情况,则共有6×6 = 36种不同的分法.

13.（2023·全国乙卷）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 （ ）
A. 30种
B. 60种
C. 120种
D. 240种

答案： 13.C　[首先确定相同的读物,共有C₆¹种情况,然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物中选出2种进行排列,共有A₅²种情况,根据分步乘法计数原理知,共有C₆¹A₅² = 120种选法.故选C.]

14.（2022·新高考Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种
B. 24种
C. 36种
D. 48种

答案： 14.B　[因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看作一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有A₃³种排列方式;为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插入方式;注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式,故安排这5名同学共有A₃³×2×2 = 24种不同的排列方式.故选B.]

15.（2023·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）.

答案： 15.答案　64
　解析　由题意，可分三类:第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有C₄¹C₄¹种方案;第二类，在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有C₄¹C₄²种方案;第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门,有C₄²C₄¹种方案.综上,不同的选课方案共有C₄¹C₄¹ + C₄¹C₄² + C₄²C₄¹ = 64种.

16.（2024·湖北武汉硚口区高三质量检测）甲组有4名护士，1名医生；乙组有6名护士，2名医生. 现需紧急组建医疗小队，若从甲、乙两组中各抽调2名人员，则选出的4名人员中恰有1名医生的不同选法共有 （ ）
A. 130种
B. 132种
C. 315种
D. 360种

答案： 16.B　[由题意，从甲、乙两组中各抽调2名人员,若选出的4名人员中恰有1名医生，该医生可能来自甲组，也可能来自乙组,故不同的选法共有C₄¹C₁¹C₆² + C₄¹C₁¹C₆² = 60 + 72 = 132种.故选B.]

17.（2024·江苏镇江地区高三上学期期初检测）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量. 现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有 （ ）
A. 150种
B. 300种
C. 360种
D. 540种

答案： 17.A　[若3所学校分配师范生的人数为3∶1∶1时,先取3人看成一个整体,再进行排列,所以不同的跟岗分配方案有C₅³A₃³ = 60种;若3所学校分配师范生的人数为2∶2∶1时,注意到有2个学校均分配2名师范生,所以不同的跟岗分配方案有$\frac{C₅²C₃²C₁¹A₃³}{A₂²}$ = 90种.综上所述，不同的跟岗分配方案共有60 + 90 = 150种.故选A.]