《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

9.（多选）已知抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点$F$到准线的距离为$2$，过点$F$的直线与抛物线交于$P$，$Q$两点，$M$为线段$PQ$的中点，$O$为坐标原点，则（ ）
A. $C$的准线方程为$y = 1$ B. 线段$PQ$长度的最小值为$4$
C. $M$的坐标可能为$(3,2)$ D. $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=-3$

答案： BCD

10. 已知抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点$F$到其准线的距离为$2$，圆$M:(x - 1)^{2}+y^{2}=1$，过$F$的直线$l$与抛物线$C$和圆$M$从上到下依次交于$A$，$P$，$Q$，$B$，则$|AP| + 4|BQ|$的最小值为_______。

答案： 答案　4 解析　因为抛物线的焦点到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线的方程为y²=4x,如图,因为|PF|=|QF|=1,所以|AP|+4|BQ|=(|AF|−|PF|)+4(|BF|−|QF|)=|AF|+4|BF|−5,设A(x1,y1),B(x,y2),则｜AF|=x1+卫2=x1 +1,|BF｜=x2+P2=x+1,所以|AP|+4|BQ|=x1+4x2,设直线l:x=my+1,由{yx²==m4yx+,1,得x²−(2+4m²)x+1=0,所以x1x2=1,所以|AP|+4|BQ|=x1+4x2≥2$\sqrt{4.xx2}$=4,当且仅当x1=4x2,即x1=2,x2=$\frac{1}{2}$时取等号,所以|AP|+4|BQ|的最小值为4.

11.（2023·北京高考）已知抛物线$C:y^{2}=8x$的焦点为$F$，点$M$在$C$上。若$M$到直线$x = - 3$的距离为$5$，则$|MF| =$（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

答案： D[因为抛物线C:y²=8.x的焦点F(2,0),准线方程为x=−2,点M在C上,所以M到准线x=−2的距离为|MF|,又M到直线x=−3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.]

12.（多选）（2023·新课标Ⅱ卷）设$O$为坐标原点，直线$y = -\sqrt{3}(x - 1)$过抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点，且与$C$交于$M$，$N$两点，$l$为$C$的准线，则（ ）
A. $p = 2$ B. $|MN|=\frac{8}{3}$
C. 以$MN$为直径的圆与$l$相切 D. $\triangle OMN$为等腰三角形

答案： AC

13.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知$O$为坐标原点，点$A(1,1)$在抛物线$C:x^{2}=2py(p\gt0)$上，过点$B(0,-1)$的直线交$C$于$P$，$Q$两点，则（ ）
A. $C$的准线为$y = - 1$ B. 直线$AB$与$C$相切
C. $|OP|\cdot|OQ|\gt|OA|^{2}$ D. $|BP|\cdot|BQ|\gt|BA|^{2}$

答案： BCD

14.（2023·全国乙卷）已知点$A(1,\sqrt{5})$在抛物线$C:y^{2}=2px$上，则$A$到$C$的准线的距离为_______。

答案： 答案　$\frac{9}{4}$解析　由题意可得($\sqrt{5}$)²=2p×1,则2p=5,抛物线C的方程为y²=5x,准线方程为x=−$\frac{5}{4}$,所以A到C的准线的距离为1−(−$\frac{5}{4}$)=$\frac{9}{4}$.

15.（2023·天津高考）过原点$O$的一条直线与圆$C:(x + 2)^{2}+y^{2}=3$相切，交曲线$y^{2}=2px(p\gt0)$于点$P$，若$|OP| = 8$，则$p$的值为_______。

答案： 答案　6 

16.（2021·新高考Ⅰ卷）已知$O$为坐标原点，抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点为$F$，$P$为$C$上一点，$PF$与$x$轴垂直，$Q$为$x$轴上一点，且$PQ\perp OP$。若$|FQ| = 6$，则$C$的准线方程为_______。

答案： 答案　x=−$\frac{3}{2}$解析　解法一:不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得P(纟,p),所以kop=2,又PQ2⊥OP,所以kp=一$\frac{1}{2}$.所以直线PQ的方程为y−p=−$\frac{1}{2}$(x−).令y=0,得x=$\frac{5}{2}$p.所以|FQ|=$\frac{5}{2}$p−=2p=6,所以p=3,所以C的准线方程为x=−=−$\frac{3}{2}$.解法二:由题易得|OF|=纟,|PF|=p,△OPF∽△PQF,
∴|PF|²=|OF|.|FQ|,即p²=纟×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C的准线方程为x=一$\frac{3}{2}$.

17.（2023·辽宁高三校考期末）已知抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点为$F$，抛物线上一点$A$在准线$l$上的射影为$B$，且$\triangle ABF$为等边三角形。若$|OA|=\sqrt{21}$，则抛物线方程为（ ）
A. $y^{2}=2x$
B. $y^{2}=4x$
C. $y^{2}=8x$
D. $y^{2}=16x$

答案： B