《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7.（多选）已知幂函数$f(x)=(m+\frac{9}{5})x^{m}$，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(-32)=\frac{1}{16}$
B. $f(x)$的定义域是$\mathbf{R}$
C. $f(x)$是偶函数
D. 不等式$f(x - 1)\geqslant f(2)$的解集是$[-1,1)\cup(1,3]$

答案： 7.ACD [由幂函数$f(x)=(m+\frac{9}{5})x^{m}$，知$m+\frac{9}{5}=1$，$\therefore m=-\frac{4}{5}$，$\therefore f(x)=x^{-\frac{4}{5}}$，定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，故B错误；$f(-32)=(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}$，故A正确；$f(x)=x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$，定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$关于原点对称，又$f(-x)=\frac{1}{\sqrt[5]{(-x)^{4}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}=f(x)$，$\therefore f(x)$是偶函数，故C正确；$\because f(x)=x^{-\frac{4}{5}}$，$\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,0)$上单调递增，不等式$f(x - 1)\geqslant f(2)$等价于$f(|x - 1|)\geqslant f(2)$，$\therefore\begin{cases}x - 1\neq0,\\|x - 1|\leqslant2,\end{cases}$解得$-1\leqslant x＜1$或$1＜x\leqslant3$，故D正确. 故选ACD.]

8.（多选）已知函数$f(x)=x^{2}-2x - 3$，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数$f(x)$的最小值为 -4
B. 函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增
C. 函数$f(|x|)$为偶函数
D. 若方程$f(|x - 1|)=a$在$\mathbf{R}$上有4个不等实根$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，则$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=4$

答案：
8.ACD [二次函数$f(x)$在对称轴$x = 1$处取得最小值，且最小值$f(1)=-4$，故A正确；二次函数$f(x)$图象的对称轴为直线$x = 1$，
其在$(0,+\infty)$上不单调，故B错误；$f(|x|)=|x|^{2}-2|x|-3$，显然$f(|x|)$为偶函数，故C正确；令$h(x)=f(|x - 1|)=|x - 1|^{2}-2|x - 1|-3$，方程$f(|x - 1|)=a$的根转化为$y = h(x)$的图象与直线$y = a$的交点，作出$h(x)$的图象如图所示，图象关于直线$x = 1$对称，当$y = h(x)$的图象与直线$y = a$有四个交点时，两两分别关于直线$x = 1$对称，所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=4$，故D正确. 故选ACD.]

9.（多选）已知函数$f(x)$的定义域为$A$，若对任意$x\in A$，存在正数$M$，使得$|f(x)|\leqslant M$成立，则称函数$f(x)$是定义在$A$上的“有界函数”. 则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A. $f(x)=\frac{3 + x}{4 - x}$
B. $f(x)=\sqrt{1 - x^{2}}$
C. $f(x)=\frac{5}{x^{2}-2x + 2}$
D. $f(x)=|x|+\sqrt{4 - |x|}$

答案： 9.BCD [对于A，因为$f(x)=\frac{3 + x}{4 - x}=\frac{-(4 - x)+7}{4 - x}=-1+\frac{7}{4 - x}$，且$\frac{7}{4 - x}\neq0$，所以$f(x)\neq - 1$，所以$|f(x)|\in[0,+\infty)$，故不存在正数$M$，使得$|f(x)|\leqslant M$成立；对于B，令$u = 1 - x^{2}$，则$u\in[0,1]$，$f(x)=\sqrt{u}$，所以$f(x)\in[0,1]$，故存在正数$1$，使得$|f(x)|\leqslant1$成立；对于C，令$u = x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，易得$u\geqslant1$，则$f(x)=\frac{5}{u}$，所以$0＜f(x)\leqslant\frac{5}{1}=5$，即$f(x)\in(0,5]$，故存在正数$5$，使得$|f(x)|\leqslant5$成立；对于D，令$t=\sqrt{4 - |x|}$，则$t\in[0,2]$，$|x|=4 - t^{2}$，则$f(x)=-t^{2}+t + 4=-(t-\frac{1}{2})^{2}+\frac{17}{4}(t\in[0,2])$，易得$2\leqslant f(x)\leqslant\frac{17}{4}$，所以$|f(x)|\in[2,\frac{17}{4}]$，故存在正数$\frac{17}{4}$，使得$|f(x)|\leqslant\frac{17}{4}$成立. 故选BCD.]

10. 已知函数$f(x)=x^{2}-2x$在定义域$[-1,n]$上的值域为$[-1,3]$，则实数$n$的取值范围为________.

答案： 答案$[1,3]$
解析 函数$f(x)=x^{2}-2x$图象的对称轴方程为$x = 1$，在$[-1,1]$上为减函数，且值域为$[-1,3]$，当$x\geqslant1$时，函数$f(x)$为增函数，且$f(3)=3$，$\therefore$要使函数$f(x)=x^{2}-2x$在定义域$[-1,n]$上的值域为$[-1,3]$，则实数$n$的取值范围是$[1,3]$.

11.（2019·北京高考）下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上单调递增的是（ ）
A. $y = x^{\frac{1}{2}}$
B. $y = 2^{-x}$
C. $y=\log_{\frac{1}{2}}x$
D. $y=\frac{1}{x}$

答案：
11.A $[y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，$y = 2^{-x}=(\frac{1}{2})^{x}$，$y=\log_{\frac{1}{2}}x$，$y=\frac{1}{x}$的图象如图所示.
由图象知，只有$y = x^{\frac{1}{2}}$在$(0,+\infty)$上单调递增. 故选A.]

12.（2019·全国Ⅱ卷）设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，满足$f(x + 1)=2f(x)$，且当$x\in(0,1]$时，$f(x)=x(x - 1)$. 若对任意$x\in(-\infty,m]$，都有$f(x)\geqslant-\frac{8}{9}$，则$m$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,\frac{9}{4}]$
B. $(-\infty,\frac{7}{3}]$
C. $(-\infty,\frac{5}{2}]$
D. $(-\infty,\frac{8}{3}]$

答案：
12.B [$\because$当$x\in(0,1]$时，$f(x)=x(x - 1)$，$\therefore$当$x\in(0,1]$时，$f(x)\in[-\frac{1}{4},0]$；$\because f(x + 1)=2f(x)$，$\therefore$当$x\in(-1,0]$时，$x + 1\in(0,1]$，$f(x)=\frac{1}{2}f(x + 1)=\frac{1}{2}(x + 1)x$，$f(x)\in[-\frac{1}{8},0]$；当$x\in(-2,-1]$时，$x + 1\in(-1,0]$，$f(x)=\frac{1}{2}f(x + 1)=\frac{1}{4}(x + 2)(x + 1)$，$f(x)\in[-\frac{1}{16},0]$；$\cdots$；当$x\in(1,2]$时，$x - 1\in(0,1]$，$f(x)=2f(x - 1)=2(x - 1)(x - 2)$，$f(x)\in[-\frac{1}{2},0]$；当$x\in(2,3]$时，$x - 1\in(1,2]$，$f(x)=2f(x - 1)=4(x - 2)(x - 3)$，$f(x)\in[-1,0]$；$\cdots$. $f(x)$的图象如图所示.
若对任意$x\in(-\infty,m]$，都有$f(x)\geqslant-\frac{8}{9}$，设$f(m)=-\frac{8}{9}$，则$4(m - 2)(m - 3)=-\frac{8}{9}$，$\therefore m=\frac{7}{3}$或$m=\frac{8}{3}$. 结合图象可知，当$m\leqslant\frac{7}{3}$时，符合题意. 故选B.]

13.（2023·湖北武汉高三模拟）若$a ＞ b$，则（ ）
A. $\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
B. $(\frac{1}{2})^{a}＞(\frac{1}{2})^{b}$
C. $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$
D. $a^{3}＞b^{3}$

答案： 13.D [取$a = 2$，$b = 1$，显然$\frac{1}{2}＜\frac{1}{1}$，A错误；$(\frac{1}{2})^{2}＜\frac{1}{2}$，B错误；若$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$无意义，C错误；若$a＞b$，则$a^{3}＞b^{3}$，D正确.]