《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1.(2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB = 1，BE = BF = 2，∠FBC = 60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
　　　　　　　　　　　　　　 　　
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B - CG - A的大小.

答案：
解 （1）证明：由已知得AD//BE，CG//BE，
所以AD//CG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC = B，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
（2）作EH⊥BC，垂足为H.
因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，
所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC = 60°，可求得BH = 1，EH = $\sqrt{3}$.
以H为坐标原点，$\overrightarrow{HC}$的方向为x轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系H - xyz，
则A(-1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0,$\sqrt{3}$)，$\overrightarrow{CG}$ = (1,0,$\sqrt{3}$)，$\overrightarrow{AC}$ = (2,-1,0).
设平面ACGD的法向量为$\boldsymbol{n}$ = (x,y,z)，
则$\begin{cases}\overrightarrow{CG}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{AC}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}x + \sqrt{3}z = 0\\2x - y = 0\end{cases}$.
所以可取$\boldsymbol{n}$ = (3,6,-$\sqrt{3}$).
又平面BCGE的法向量可取$\boldsymbol{m}$ = (0,1,0)，
所以$\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle=\frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\boldsymbol{m}\vert}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
因此二面角B - CG - A的大小为30°.

2.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB = BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解 （1）证明：因为直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，F为CC₁的中点，侧面AA₁B₁B为正方形，且AB = BC = 2，
所以CF = 1，BF = $\sqrt{5}$，连接AF，由BF⊥A₁B₁且AB//A₁B₁，得BF⊥AB，所以AF = 3.
所以AC = 2$\sqrt{2}$，由AB² + BC² = AC²，得AB⊥BC.
如图所示，建立空间直角坐标系B - xyz，
于是A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，
设B₁D = m(0≤m≤2)，则D(m,0,2).
于是$\overrightarrow{BF}$ = (0,2,1)，$\overrightarrow{DE}$ = (1 - m,1,-2).
由$\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{DE}=0$，得BF⊥DE.
（2）易知面BB₁C₁C的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{1}$ = (1,0,0).
设面DFE的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}$ = (x,y,z)，
又$\overrightarrow{DE}$ = (1 - m,1,-2)，$\overrightarrow{EF}$ = (-1,1,1)，
所以$\begin{cases}\overrightarrow{DE}\cdot\boldsymbol{n}_{2}=0\\\overrightarrow{EF}\cdot\boldsymbol{n}_{2}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}(1 - m)x + y - 2z = 0\\-x + y + z = 0\end{cases}$，
令x = 3，得y = m + 1，z = 2 - m，
于是面DFE的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}$ = (3,m + 1,2 - m)，
于是$\cos\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle=\frac{3}{\sqrt{2(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{27}{2}}}$.
当m = $\frac{1}{2}$时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，此时其正弦值最小，为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即当B₁D = $\frac{1}{2}$时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小.