《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 以$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$为焦点，且经过点$(1,\frac{3}{2})$的椭圆的标准方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
B. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
C. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$
D. $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

答案： B [因为焦点在x轴上，故排除C；又因为c = 1，故排除D；将(1,$\frac{3}{2}$)代入$\frac{x²}{3}$ + $\frac{y²}{2}$ = 1得$\frac{1}{3}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{35}{24}$ ≠ 1，故排除A. 故选B.]

2. 椭圆$x^2+my^2=1$的焦点在$y$轴上，长轴长是短轴长的$2$倍，则$m=$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 2
C. 4
D. $\frac{1}{4}$

答案： D [由x² + $\frac{y²}{\frac{1}{m}}$ = 1及题意知，2$\sqrt{\frac{1}{m}}$ = 2×2×1，得m = $\frac{1}{4}$. 故选D.]

3. 若动点$P(x,y)$满足方程$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2}+\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}=8$，则动点$P$的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$
C. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
D. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$

答案： A [由题意得P(x,y)到A(−2,0)与B(2,0)的距离之和为8，且8＞4 = |AB|，故动点P的轨迹方程是以A(−2,0)与B(2,0)为焦点的椭圆方程，且2a = 8，c = 2，所以a = 4，b² = a² - c² = 16 - 4 = 12，所以动点P的轨迹方程为$\frac{x²}{16}$ + $\frac{y²}{12}$ = 1. 故选A.]

4. 已知点$P$是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$上的任意点，$F$是椭圆的左焦点，$Q$是$PF$的中点，则$\triangle OFQ$的周长为（ ）
A. 5
B. 6
C. 10
D. 12

答案：
A [在椭圆$\frac{x²}{9}$ + $\frac{y²}{5}$ = 1中，a = 3，b = $\sqrt{5}$，c = $\sqrt{a² - b²}$ = 2，如图，设椭圆的另一个焦点为F'，连接PF'，因为O，Q分别为FF'，PF的中点，所以|OQ| = $\frac{1}{2}$|PF'|，则△OFQ的周长为|OF| + |OQ| + |QF| = |OF| + $\frac{1}{2}$(|PF'| + |PF|) = c + a = 5. 故选A.]

5. 已知圆$(x + 2)^2 + y^2 = 36$的圆心为$M$，设$A$为圆上任一点，且点$N(2,0)$，线段$AN$的垂直平分线交$MA$于点$P$，则动点$P$的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线

答案： B [因为点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA| = |PN|，又AM是圆的半径，所以|PM| + |PN| = |PM| + |PA| = |AM| = 6＞|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆. 故选B.]

6.（多选）已知$P$是椭圆$C:\frac{x^2}{6}+y^2=1$上的动点，$Q$是圆$D:(x + 1)^2 + y^2=\frac{1}{5}$上的动点，则（ ）
A. $C$的焦距为$\sqrt{5}$ B. $C$的离心率为$\frac{\sqrt{30}}{6}$
C. 圆$D$在$C$的内部 D. $|PQ|$的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： BC [
∵$\frac{x²}{6}$ + y² = 1，
∴a = $\sqrt{6}$，b = 1，
∴c = $\sqrt{a² - b²}$ = $\sqrt{6 - 1}$ = $\sqrt{5}$，则C的焦距为2$\sqrt{5}$，离心率e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{6}$. 设P(x,y)(−$\sqrt{6}$≤x≤$\sqrt{6}$)，则|PD|² = (x + 1)² + y² = (x + 1)² + 1 - $\frac{x²}{6}$ = $\frac{5}{6}$(x + $\frac{6}{5}$)² + $\frac{4}{5}$≥$\frac{4}{5}$＞$\frac{1}{5}$，
∴圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为$\sqrt{\frac{4}{5}}$ - $\sqrt{\frac{1}{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$. 故选BC.]

7.（多选）椭圆$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，$O$为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A. 过点$F_2$的直线与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，则$\triangle ABF_1$的周长为8
B. 椭圆$C$上存在点$P$，使得$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$
C. 椭圆$C$的离心率为$\frac{1}{2}$
D. $P$为椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$上一点，$Q$为圆$x^2 + y^2 = 1$上一点，则点$P$，$Q$间的最大距离为3

答案： ABD [对于A，因为F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{x²}{4}$ + y² = 1的左、右焦点，过点F₂的直线与椭圆C交于A，B两点，由椭圆定义可得，|AF₁| + |AF₂| = |BF₁| + |BF₂| = 2a = 4，因此△ABF₁的周长为|AF₁| + |BF₁| + |AB| = |AF₁| + |BF₁| + |AF₂| + |BF₂| = 4a = 8，故A正确；对于B，设点P(x,y)为椭圆C：$\frac{x²}{4}$ + y² = 1上任意一点，则点P的坐标满足$\frac{x²}{4}$ + y² = 1，且−2≤x≤2，又F₁(−$\sqrt{3}$,0)，F₂($\sqrt{3}$,0)，所以$\overrightarrow{PF₁}$ = (−$\sqrt{3}$ - x,−y)，$\overrightarrow{PF₂}$ = ($\sqrt{3}$ - x,−y)，因此$\overrightarrow{PF₁}$·$\overrightarrow{PF₂}$ = (−$\sqrt{3}$ - x)($\sqrt{3}$ - x) + y² = x² - 3 + 1 - $\frac{x²}{4}$ = $\frac{3x²}{4}$ - 2，由$\overrightarrow{PF₁}$·$\overrightarrow{PF₂}$ = $\frac{3x²}{4}$ - 2 = 0，可得x = ±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$∈[−2,2]，故B正确；对于C，因为a² = 4，b² = 1，所以c² = 4 - 1 = 3，即c = $\sqrt{3}$，所以椭圆C的离心率为e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故C错误；对于D，设点P(x,y)为椭圆C：$\frac{x²}{4}$ + y² = 1上任意一点，由题意可得，点P(x,y)到圆x² + y² = 1的圆心的距离为|PO| = $\sqrt{x² + y²}$ = $\sqrt{4 - 4y² + y²}$ = $\sqrt{4 - 3y²}$，因为−1≤y≤1，所以|PQ|max = |PO|max + 1 = $\sqrt{4 - 0}$ + 1 = 3，故D正确. 故选ABD.]