《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

4.(2024·江苏南通如皋中学创新实验班模拟)现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分。前4局比赛中，一队只有赢得至少25 分并领先对方2分时，才胜1局。在第5局比赛中，先获得15分并领先对方2分的一方获胜。在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方。经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为$\frac{2}{3}$；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为$\frac{1}{2}$。
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为$P_i$。假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小。

答案： 解　
(1)在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况有(胜胜负)，(胜负胜)，(负胜胜)，共3种，对应的概率分别为$P_{1}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，$P_{2}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{9}$，$P_{3}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率P=$\frac{4}{27}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{10}{27}$。
(2)根据全概率公式，得$P_{i + 1}$=$\frac{2}{3}P_{i}$+$\frac{1}{2}$(1 - $P_{i}$)=$\frac{1}{6}P_{i}$+$\frac{1}{2}$，即$P_{i + 1}$-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{6}$($P_{i}$-$\frac{3}{5}$)，易知$P_{1}$=0，所以{$P_{i}$-$\frac{3}{5}$}是以-$\frac{3}{5}$为首项，$\frac{1}{6}$为公比的等比数列，所以$P_{i}$=$\frac{3}{5}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{6^{i - 1}}$，故$P_{15}$=$\frac{3}{5}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{6^{14}}$，因为$P_{15}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{6^{14}}$=$\frac{6^{14}-6}{10×6^{14}}$＞0，所以$P_{15}$＞$\frac{1}{2}$，而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率。