《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7. 圆心角相同的两个扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形的周长之比为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 1∶2　　　　
　B. 1∶4　　　　
　C. 1∶$\sqrt{2}$　　　
　D. 1∶8

答案： C [设两扇形的半径分别为r₁，r₂，面积分别为S₁，S₂，由扇形面积公式S = $\frac{1}{2}$αr²得$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{\frac{1}{2}\alpha r_{1}^{2}}{\frac{1}{2}\alpha r_{2}^{2}}$ = $\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$ = $\frac{1}{2}$，得$\frac{r_{1}}{r_{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$，则两个扇形的周长之比为$\frac{2r_{1}+\alpha r_{1}}{2r_{2}+\alpha r_{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$. 故选C.]

8. 已知角$\alpha =2k\pi-\frac{\pi}{5}(k\in\mathbf{Z})$，若角$\theta$与角$\alpha$的终边相同，则$y =\frac{\sin\theta}{|\sin\theta|}+\frac{\cos\theta}{|\cos\theta|}+\frac{\tan\theta}{|\tan\theta|}$的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 1　　　　　
　B. -1　　　　
　C. 3　　　　　
　D. -3

答案： B [由α = 2kπ - $\frac{\pi}{5}$(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ ＜ 0，cosθ ＞ 0，tanθ ＜ 0. 所以y = -1 + 1 - 1 = -1.]

9.（多选）下列结论中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 若$0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$，则$\sin\alpha\lt\tan\alpha$
B. 若$\alpha$是第二象限角，则$\frac{\alpha}{2}$为第一象限或第三象限角
C. 若角$\alpha$的终边过点$P(3k,4k)(k\neq0)$，则$\sin\alpha =\frac{4}{5}$
D. 若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度

答案： ABD [若0 ＜ α ＜ $\frac{\pi}{2}$，则sinα ＜ $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ = tanα，A正确；若α是第二象限角，即α∈(2kπ + $\frac{\pi}{2}$，2kπ + π)，k∈Z，则$\frac{\alpha}{2}$∈(kπ + $\frac{\pi}{4}$，kπ + $\frac{\pi}{2}$)，k∈Z，$\frac{\alpha}{2}$为第一象限或第三象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα = $\frac{4k}{\sqrt{9k^{2}+16k^{2}}}$ = $\frac{4k}{5|k|}$，不一定等于$\frac{4}{5}$，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6 - 2×2 = 2，其圆心角的大小为$\frac{2}{2}$ = 1弧度，D正确. 故选ABD.]

10. 在平面直角坐标系$xOy$中，角$\alpha$与角$\beta$均以$Ox$为始边，它们的终边关于$y$轴对称. 若$\sin\alpha =\frac{1}{3}$，则$\sin\beta =$_______.

答案： 答案 $\frac{1}{3}$
解析 由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β = (2k + 1)π - α，k∈Z，
∵sinα = $\frac{1}{3}$，
∴sinβ = sin[(2k + 1)π - α] = sinα = $\frac{1}{3}$(k∈Z).

11. 角$\alpha$是第四象限角，且$|\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$，则角$\frac{\alpha}{2}$是第_______象限角.

答案： 答案 二
解析 由角α是第四象限角，可得2kπ - $\frac{\pi}{2}$ ＜ α ＜ 2kπ，k∈Z，
∴kπ - $\frac{\pi}{4}$ ＜ $\frac{\alpha}{2}$ ＜ kπ，k∈Z，
∵|cos$\frac{\alpha}{2}$| = -cos$\frac{\alpha}{2}$，
∴cos$\frac{\alpha}{2}$ ＜ 0，
∴2kπ + $\frac{\pi}{2}$ ＜ $\frac{\alpha}{2}$ ＜ 2kπ + $\frac{3\pi}{2}$，k∈Z，
∴2kπ + $\frac{3\pi}{4}$ ＜ $\frac{\alpha}{2}$ ＜ 2kπ + π，k∈Z，
∴$\frac{\alpha}{2}$是第二象限角.

12. 已知扇形$AOB$的周长为8，在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大小为_______，弦长$AB$为_______.

答案： 答案 24sin1
解析 设半径为r，弧AB的长为l，圆心角为α，则l = 8 - 2r，扇形面积S = $\frac{1}{2}$lr = (4 - r)r = -r² + 4r，利用二次函数性质可得，当且仅当r = 2时S取得最大值，此时l = 4，所以α = $\frac{l}{r}$ = 2，由垂径定理得AB = 2rsin$\frac{\alpha}{2}$ = 4sin1.

13.（2020·全国Ⅱ卷）若$\alpha$为第四象限角，则　　　　　　　　　(　　　)
A. $\cos2\alpha\gt0$　
　B. $\cos2\alpha\lt0$　　
　C. $\sin2\alpha\gt0$　　
　D. $\sin2\alpha\lt0$

答案： D [当α = -$\frac{\pi}{3}$时，cos2α = cos(-$\frac{2\pi}{3}$) ＜ 0，A错误；当α = -$\frac{\pi}{6}$时，cos2α = cos(-$\frac{\pi}{3}$) ＞ 0，B错误；由α为第四象限角可得sinα ＜ 0，cosα ＞ 0，则sin2α = 2sinαcosα ＜ 0，C错误，D正确. 故选D.]

14.（2020·北京高考）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（$\pi$ Day）. 历史上，求圆周率$\pi$的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似. 数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数$n$充分大时，计算单位圆的内接正$6n$边形的周长和外切正$6n$边形（各边均与圆相切的正$6n$边形）的周长，将它们的算术平均数作为$2\pi$的近似值. 按照阿尔·卡西的方法，$\pi$的近似值的表达式是　　　　　　(　　　)
A. $3n(\sin\frac{30^{\circ}}{n}+\tan\frac{30^{\circ}}{n})$　　　
　B. $6n(\sin\frac{30^{\circ}}{n}+\tan\frac{30^{\circ}}{n})$
C. $3n(\sin\frac{60^{\circ}}{n}+\tan\frac{60^{\circ}}{n})$　　　　
　D. $6n(\sin\frac{60^{\circ}}{n}+\tan\frac{60^{\circ}}{n})$

答案： A [单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为$\frac{360°}{6n}$ = $\frac{60°}{n}$，每条边长为2sin$\frac{30°}{n}$，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin$\frac{30°}{n}$. 单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan$\frac{30°}{n}$，其周长为12ntan$\frac{30°}{n}$，所以2π = $\frac{12n\sin\frac{30°}{n}+12n\tan\frac{30°}{n}}{2}$ = 6n(sin$\frac{30°}{n}$ + tan$\frac{30°}{n}$)，则π = 3n(sin$\frac{30°}{n}$ + tan$\frac{30°}{n}$). 故选A.]

15.（2023·福建泉州月考）若$A =\{\theta|\theta = k\cdot360^{\circ},k\in\mathbf{Z}\},B =\{\theta|\theta = k\cdot180^{\circ},k\in\mathbf{Z}\},C =\{\theta|\theta = k\cdot90^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$，则下列关系中正确的是 （ ）
A. $A = B = C$　
　B. $A\subseteq B\subseteq C$　
　C. $A\subseteq B = C$　
　D. $C\subseteq B\subseteq A$

答案： B [集合A的元素表示终边落在x轴非负半轴上的所有角，集合B的元素表示终边落在x轴上的所有角，集合C的元素表示终边落在x轴和y轴上的所有角. 故选B.]