《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

17.（2024·河北邯郸高三上学期第一次调研监测）设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(x - 1)$ 为奇函数，$f(x + 1)$ 为偶函数，当 $x\in(-1,1)$ 时，$f(x)=-e^{x}$，则 （ ）
A. $f(3)=-1$
B. $f(-2)=-1$
C. $f(x + 6)$ 为奇函数
D. $f(2x)=f(2x + 8)$

答案： D [因为f(x - 1)为奇函数，所以f( - x - 1)= - f(x - 1)，即f(x)= - f( - x - 2)，则f( - 1)= - f( - 1)，所以f( - 1)=0. 因为f(x + 1)为偶函数，所以f( - x + 1)=f(x + 1)，即f(x)=f( - x + 2)，则f
(3)=f( - 1)=0，故A错误；由当x∈( - 1，1)时，f(x)= - eˣ，得f
(0)= - 1，则f( - 2)= - f
(0)=1，故B错误；因为f( - x + 2)= - f( - x - 2)，则f(x + 4)= - f(x)，所以f(x + 8)= - f(x + 4)=f(x)，所以f(2x)=f(2x + 8)，故D正确；由f(x + 8)=f(x)，得f(x + 6)=f(x - 2)，若f(x + 6)为奇函数，则f(x - 2)也为奇函数，令g(x)=f(x - 2)，则g(x)为奇函数，则g
(0)=0，又g
(0)=f( - 2)=1≠0，矛盾，所以g(x)=f(x - 2)不是奇函数，即f(x + 6)不是奇函数，故C错误. 故选D.]

18.（多选）（2024·河北保定部分高中高三上学期开学考试）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(x + y)+2xy=f(x)+f(y)$，$f(1)=2$，则 （ ）
A. $f(0)=0$
B. $f(-2)=-10$
C. $y = f(x)+x^{2}$ 是奇函数
D. $y = f(x)-x^{2}$ 是偶函数

答案： ABC [令x = y = 0，可得f
(0)=0，故A正确；令x = y = 1，可得f
(2)=2，令x = - 2，y = 2，可得f
(0) - 8=f
(2)+f( - 2)，则f( - 2)= - 10，故B正确；由f(x + y)+2xy=f(x)+f(y)，可得f(x + y)+(x + y)²=f(x)+x²+f(y)+y²，令g(x)=f(x)+x²，则g(x + y)=g(x)+g(y)，令x = y = 0，可得g
(0)=0，令y = - x，则g
(0)=g(x)+g( - x)=0，所以g(x)是奇函数，即y = f(x)+x²是奇函数，故C正确；因为f
(2) - 2²≠f( - 2) - ( - 2)²，所以y = f(x) - x²不是偶函数，故D错误.]

19.（多选）（2024·河南二十名校高三调研）已知 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数且 $f(x)$ 不是常函数，$F(x)=f(1 - x)-1$，$g(x)=f(x + 1)-1$，若 $g(x)$ 是奇函数，则 （ ）
A. $y = f(x)$ 的图象关于点 $(1,1)$ 对称
B. $f(x)=f(x + 4)$
C. $F(x)$ 是奇函数
D. 函数 $F(x)$ 与 $g(x)$ 的图象关于原点对称

答案： ABC [由题意，得g(x)+g( - x)=0，即f(x + 1) - 1+f( - x + 1) - 1=0，整理，得f(x + 1)+f( - x + 1)=2，所以y = f(x)的图象关于点(1，1)对称，故A正确；又f(x)为偶函数，则f(x)+f(x - 2)=f(x)+f(2 - x)=2，所以f(x - 2)+f(x - 4)=2，f(x)=f(x - 4)，所以f(x)=f(x + 4)，故B正确；F(x)+F( - x)=f(1 - x) - 1+f(1 + x) - 1=0，故C正确；因为F( - x)=g(x)，所以函数F(x)与g(x)的图象关于y轴对称，不关于原点对称，故D错误. 故选ABC.]

20.（多选）（2024·湖南长沙名校高三第一次质量检测）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称，且满足 $f(x + 3)=f(1 - x)$，则下列结论正确的是 （ ）
A. 函数 $f(x + 1)$ 是奇函数
B. 函数 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称
C. 函数 $f(x)$ 是最小正周期为 2 的周期函数
D. 若函数 $g(x)$ 满足 $g(x)+f(x + 3)=2$，则 $\sum_{k = 1}^{2024}g(k)=4048$

答案： ABD [因为函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x + 1)= - f(1 - x)，所以函数f(x + 1)是奇函数，故A正确；因为f(x + 1)= - f(1 - x)，所以f(x + 2)= - f( - x)，又f(x + 3)=f(1 - x)，所以f(x + 3)= - f(x + 1)，所以f(x + 2)= - f(x)，所以f( - x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，故B正确；因为f(x + 4)= - f(x + 2)=f(x)，所以f(x)是最小正周期为4的周期函数，故C错误；因为g(x)+f(x + 3)=2，所以g(x)=2 - f(x + 3)，故g(x + 4)=2 - f(x + 7)=2 - f(x + 3)=g(x)，所以g(x)也是周期为4的函数，g
(1)+g
(2)+g
(3)+g
(4)=2 - f
(4)+2 - f
(5)+2 - f
(6)+2 - f
(7)=8 - [f
(4)+f
(5)+f
(6)+f
(7)]，因为f(x + 2)= - f(x)，所以f
(4)+f
(6)=0，f
(5)+f
(7)=0，所以g
(1)+g
(2)+g
(3)+g
(4)=8，所以$\sum_{k = 1}^{2024}g(k)$=506[g
(1)+g
(2)+g
(3)+g
(4)]=4048，故D正确. 故选ABD.]

21.（2023·陕西商洛第一次模拟）请写出一个同时满足以下三个条件的函数：$f(x)=$ ________。
① $f(x)$ 是偶函数；
② $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；
③ $f(x)$ 的最小值是 2。

答案： 答案 x² + 2(答案不唯一)
解析 函数f(x)=x² + 2为偶函数，在[0，+∞)上单调递增，最小值为f
(0)=2，满足要求.

22.（2024·广东广州执信中学高三上学期开学测试）设 $f(x)$ 为定义在整数集上的函数，$f(1)=1$，$f(2)=0$，$f(-1)\lt0$，对任意的整数 $x$，$y$ 均有 $f(x + y)=f(x)f(1 - y)+f(1 - x)f(y)$，则 $f(55)=$ ________。

答案： 答案 - 1
解析 令x = y = 1，则f
(2)=f
(1)f
(0)+f
(0)f
(1)=2f
(0)=0，
∴f
(0)=0；令x = 2，y = - 1，则f
(1)=f²
(2)+f²( - 1)=f²( - 1)=1，又f( - 1)＜0，
∴f( - 1)= - 1；令y = 1，则f(x + 1)=f(x)f
(0)+f(1 - x)f
(1)=f(1 - x)，
∴f(x)的图象关于直线x = 1对称；令y = - x，则f
(0)=f(x)f(1 + x)+f(1 - x)f( - x)=[f(x)+f( - x)]f(1 + x)=0，
∵f(1 + x)=0不恒成立，
∴f(x)+f( - x)=0恒成立，
∴f(x)为奇函数，
∵f(x + 2)=f( - x)= - f(x)，
∴f(x + 4)= - f(x + 2)=f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
∴f
(55)=f(4×14 - 1)=f( - 1)= - 1.