《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

15. （2022·全国甲卷）设向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，且$|\boldsymbol{a}| = 1,|\boldsymbol{b}| = 3$，则$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=$________.

答案： 答案 $11$
解析 设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$,因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$,即$\cos\theta=\frac{1}{3}$,又$|\boldsymbol{a}| = 1$,$|\boldsymbol{b}| = 3$,所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta=1\times3\times\frac{1}{3}=1$,所以$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^{2}=2\times1+3^{2}=11$.

16. （2023·陕西榆林三模）已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 3,|\boldsymbol{b}| = 2,\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}-\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$（ ）
A. 3
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{7}$
D. 5

答案： 16.A [$\because\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}-\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$,$\therefore\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$,$\therefore|\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}| = 1$,$\therefore\frac{1}{9}|\boldsymbol{a}|^{2}-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}|\boldsymbol{b}|^{2}=1$,即$2-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$,解得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3$. 故选 A.]

17. （2023·云南三校高三第五次联考）已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 2,\boldsymbol{b}=(1,\sqrt{3})$，且$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为（ ）
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{5\pi}{6}$

答案： 17.C [$\because\boldsymbol{b}=(1,\sqrt{3})$,$\therefore|\boldsymbol{b}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$.$\because(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}$,$\therefore(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$,则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-2$,$\therefore\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-2}{2\times2}=-\frac{1}{2}$,又$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\in[0,\pi]$,$\therefore$向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$. 故选 C.]

18. （2023·吉林长春东北师大附中高三模拟）已知平面向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 2,\boldsymbol{b}=(3,1)$，且$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{10}$，则$(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})\cdot(2\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a})=$（ ）
A. 10
B. 14
C. $\sqrt{14}$
D. $\sqrt{10}$

答案： 18.B [由已知可得$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$,$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=10$,所以$4 + 10-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=10$,所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2$,所以$(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})\cdot(2\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a})=2\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}^{2}=20-2 - 4 = 14$. 故选 B.]

19. （2024·河北邯郸第二中学开学考试）在$\triangle ABC$中，$\cos A=\frac{1}{2},AB = 2,AC = 3$，$D$是线段$BC$上靠近$C$的一个三等分点，则$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BD}=$（ ）
A. $\frac{22}{9}$
B. $-\frac{22}{9}$
C. $\frac{16}{9}$
D. $-\frac{8}{9}$

答案： 19.A [由题意,得$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$,$\therefore\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BD}=(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})\cdot(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})=-\frac{2}{9}|\overrightarrow{AB}|^{2}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AC}|^{2}-\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{9}\times4+\frac{4}{9}\times9-\frac{2}{9}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\angle BAC=-\frac{8}{9}+4-\frac{2}{9}\times2\times3\times\frac{1}{2}=\frac{22}{9}$. 故选 A.]

20. （多选）（2024·江苏徐州高三开学考试）已知平面向量$\boldsymbol{a}=(2,1),\boldsymbol{b}=(t,t - 3)$，则（ ）
A. 若$t = 6$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
B. 若$t\gt 1$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为锐角
C. 若$\boldsymbol{c}$为任意非零向量，则存在实数$t$，使得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$
D. 若$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\frac{3}{5}\boldsymbol{b}$，则$t = 2$或$t=\frac{7}{2}$

答案： 20.AD [对于 A,若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,则$2(t - 3)=t$,解得$t = 6$,A 正确;对于 B,若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为锐角,则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}＞0$且$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$不共线,所以$\begin{cases}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2t+t - 3=3t - 3＞0\\t\neq6\end{cases}$,解得$t＞1$且$t\neq6$,B 错误;对于 C,设$\boldsymbol{c}=(x,y)$,其中$x^{2}+y^{2}＞0$,若存在$t\in\mathbf{R}$,使得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$,则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=(2x + y)-[tx+(t - 3)y]=(2x + 4y)-(x + y)t=0$,令$x=-y = 1$,此时$2x + 4y\neq0$,该方程无解,若$\boldsymbol{c}=(1,-1)$,则不存在实数$t$,使得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$,C 错误;对于 D,若$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\frac{3}{5}\boldsymbol{b}$,则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\frac{3}{5}\boldsymbol{b}^{2}$,即$2t+t - 3=\frac{3}{5}[t^{2}+(t - 3)^{2}]$,整理可得$2t^{2}-11t + 14 = 0$,解得$t = 2$或$t=\frac{7}{2}$,D 正确. 故选 AD.]

21. （2024·河北保定部分学校高三开学考试）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,-1),\boldsymbol{b}=(0,2)$，若$(\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，则$m =$________.

答案： 答案 $-\frac{1}{2}$
解析 由$(\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$,可得$(\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-m\boldsymbol{b}^{2}=0$,则$-2-4m = 0$,解得$m=-\frac{1}{2}$.

22. （2024·河南南阳中学开学考试）在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ},AC = 3,AB = 4$，$P$为$BC$边上的动点，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的最小值为________.

答案：
答案 $-\frac{64}{25}$
解析 由于$\angle A = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$AB = 4$,所以以$A$为坐标原点,$AC$,$AB$所在直线分别为$x$,$y$轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则$A(0,0)$,$B(0,4)$,$C(3,0)$,设$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}=\lambda(3,-4)=(3\lambda,-4\lambda)$,且$\lambda\in[0,1]$,所以$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=(0,-4)-(3\lambda,-4\lambda)=(-3\lambda,-4 + 4\lambda)$,$\overrightarrow{PB}=(-3\lambda,4\lambda)$,则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(-3\lambda,-4 + 4\lambda)\cdot(-3\lambda,4\lambda)=9\lambda^{2}+16\lambda^{2}-16\lambda=25\lambda^{2}-16\lambda=25(\lambda-\frac{8}{25})^{2}-\frac{64}{25}$,$\therefore$当$\lambda=\frac{8}{25}$时,$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$取得最小值$-\frac{64}{25}$.